Các công trình thuộc lĩnh vực tối ưu hóa, nổi bật là Giải tích tối ưu toàn cục và Quy hoạch D.C và ứng dụng của Giáo sư Hoàng Tụy là một trong những thành tựu quan trọng của toán học Việt Nam hiện đại. Những thành tựu nghiên cứu này, đặc biệt là phương pháp lát cắt để tìm điểm tối ưu toàn cục, lần đầu tiên được áp dụng để giải các bài toán quy hoạch lõm, có thể ứng dụng vào quy hoạch vùng kinh tế, định vị xây dựng các trung tâm thương mại, thiết kế, nhận dạng trong sinh vật… Các công trình này được được tặng Giải thưởng Hồ Chí Minh năm 1996.
Năm 1959, sau khi bảo vệ luận án Phó tiến sĩ về hàm thực ở Liên Xô, Hoàng Tụy về Việt Nam, đúng lúc trong nước đang diễn ra sôi động phong trào vận động ứng dụng khoa học vào thực tế. Nhận thấy chuyên ngành hàm thực mang nặng tính lý thuyết nên ông Hoàng Tụy suy nghĩ tìm hướng vận dụng toán học vào cuộc sống. Ông Hoàng Tụy khi đó mới hơn 30 tuổi, ông rất hòa đồng trong những buổi sinh hoạt khoa học giao lưu với sinh viên. Năm 1961, ông đọc báo và biết tin các nhà toán học Trung Quốc bắt đầu nghiên cứu lĩnh vực vận trù học và lý thuyết tối ưu. Biết Giáo sư Tạ Quang Bửu có chuyến công tác ở Trung Quốc, ông đã nhờ mua một số tài liệu liên quan đến tối ưu hóa, Từ đó, ông bắt tay vào nghiên cứu theo hướng này.
Một số sinh viên khoa Toán lúc bấy giờ: Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Quang Thái, Đỗ Long Vân bắt đầu được tham gia các semina tìm hiểu về mô hình và phương pháp tối ưu. Dưới sự hướng dẫn của thầy Hoàng Tụy và thầy Phan Đức Chính, sinh viên đọc cuốn sách Các phương pháp toán trong tổ chức và kế hoạch hóa sản xuất bằng tiếng Nga, sau đó trình bày trong các seminar.
Đầu tiên, ông Hoàng Tụy ứng dụng vận trù học vào ngành giao thông vận tải. Ông đến Sở Giao thông vận tải Hà Nội, theo dõi và quan sát các hành trình điều xe của họ để góp ý kiến cải tiến nhằm giảm thiểu quãng đường xe phải chạy không tải. Một số sinh viên, trong đó có Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Quang Thái dưới sự hướng dẫn của thầy Hoàng Tụy, Phan Đức Chính được cử đi thực tế tại Xí nghiệp vận tải Long Biên. Sau khi nhận nhiệm vụ, nhóm sinh viên xuống các nhà máy, cơ sở giao thông vận tải để khảo sát. Sau đó, nhóm của Trần Vũ Thiệu được thầy Tụy giao nhiệm vụ vận dụng kiến thức tối ưu vào công tác điều vận nhằm phát hiện và khắc phục những hiện tượng lãng phí như chạy xe con thoi, chạy xe chồng chéo, chạy xe đường dài không cần thiết, từ đó tính toán để tìm ra những hành trình chạy xe kết hợp để giảm bớt quãng đường xe chạy không tải. GS Nguyễn Quang Thái, một trong những thành viên của nhóm sinh viên năm đó chia sẻ: Chúng tôi đến xí nghiệp ô tô để giúp họ điều xe, tôi được cử vào vai đội phó rồi đội trưởng xí nghiệp ô tô số 2. Họ đồng ý cho chúng tôi làm thử và thấy có hiệu quả. Sang năm thứ hai, Sở Giao thông vận tải Hà Nội đề nghị sinh viên khoa Toán đến huấn luyện cho các xí nghiệp. Sinh viên nào đi thực tập hướng dẫn được Sở Giao thông vận tải làm tốt sẽ được miễn thi một số môn.
Vận trù học còn được áp dụng trong lễ tang của Chủ tịch Hồ Chí Minh 1969
Chiều ngày 3 tháng 9 năm 1969, Nguyễn Quang Thái, khi đó là giảng viên trường Đại học Tổng hợp Hà Nội đang ở nhà thì có một người mang thư của Bí thư Đảng ủy trường nhờ ông đến ngay Bộ Đại học. Ông bảo đợi một chút để ăn cơm, nhưng người kia cho biết cần đi ngay, ô tô đang chờ sẵn. Khi xe đi qua cổng Bộ Đại học, ông thắc mắc sao không ghé vào, người ấy cho biết được lệnh đưa ông đến Ủy ban nhân dân thành phố Hà Nội. Ông gặp Bí thư Đảng ủy trường ở Ủy ban và được biết tin Bác mất, ông đại diện cho các nhà toán học ở trường nằm trong đội hình được phân công tổ chức lễ viếng Bác. Nhiệm vụ giao cho ông là tổ chức lễ viếng Bác như viếng Lênin (mà ông chưa bao giờ đến Liên Xô, huống chi biết viếng Lênin như thế nào).
Tiện có chiếc đồng hồ đeo tay, ông hỏi có trung đội bộ đội nào ở đây và hướng dẫn họ đi đều hàng một từ đầu sân đến cuối sân. Cứ như vậy thử nghiệm với đi hàng hai, hàng ba… Cuối cùng ông lập kế hoạch các đoàn vào viếng Bác đi hàng hai cách nhau 80 phân để ai cũng được nhìn thấy Bác. Thế là từ ngày 4 đến ngày 9-9-1969 ông có mặt tại Hội trường Ba Đình trong những ngày đại tang, có thẻ đặc biệt ra vào. Trong quá trình đó, một hôm ông đang đứng thấy đoàn của khoa Toán đến viếng, thầy Tụy ngạc nhiên hỏi: Cậu làm gì ở đây, ông cười trả lời: Em làm vận trù ở đây thầy ạ.
Đưa toán học Việt Nam ra thế giới
Năm 1962, nhân chuyến sang Liên Xô trao đổi khoa học, ông đến thành phố Novosibirsk và gặp nhà toán học Viện sĩ Kantorovich. Lúc đó, ông Kantorovich đang gặp khó khăn trong việc đưa toán học vào quản lý kinh tế vì trường phái kinh tế lạc hậu ở Liên Xô đang chiếm ưu thế. Ông ta nghe ông Hoàng Tụy kể chuyện làm vận trù học và thấy rất thích thú, mời ông Tụy nói chuyện với cộng đồng các nhà khoa học trong thành phố Novosibirsk. Tình thân giữa hai người bắt nguồn từ đó (nhưng Giáo sư Hoàng Tụy tự nhận mình chỉ đáng là học trò của ông Kantorovich).
Năm 1964, Giáo sư Tụy nảy ra ý tưởng về phương pháp lát cắt (mà sau này nhiều nhà nghiên cứu đã đặt tên là “nhát cắt Tụy”) để giải bài toán quy hoạch lõm. Ông trình bày với ông Tạ Quang Bửu (lúc đó là Tổng thư ký Ủy ban Khoa học nhà nước) và được ông Bửu gợi ý sang Liên Xô trong chương trình trao đổi khoa học của Ủy ban với Viện Hàn lâm khoa học Liên Xô. Nhờ đó, Giáo sư Tụy có cơ hội trở lại thành phố Novosibirsk. Ông báo cáo về bài toán quy hoạch lõm trong seminar do ông Kantorovich tổ chức. Nhiều người tham dự seminar thấy lạ lẫm với bài toán mới nhưng ông Kantorovich hiểu được nên đặt ra nhiều câu hỏi.
Ông Kantorovich giới thiệu để ông Tụy đăng bài viết Bài toán quy hoạch lõm với các ràng buộc tuyến tính trong tạp chí Báo cáo của Viện Hàn lâm khoa học Liên Xô. Không ngờ bài báo này được Mỹ dịch ra tiếng Anh và đăng lại. Bài báo được 827 người trích dẫn với 1071 lần.
Giáo sư Hoàng Tụy kể: Những năm 80 của thế kỷ XX, ông nảy ra ý tưởng viết sách chuyên khảo về ngành tối ưu toàn cục, ngành khoa học mới trên thế giới. Hồi đó quan hệ của các nhà khoa học Việt Nam với quốc tế không phải dễ dàng, muốn gửi bài đăng ở nước ngoài phải báo cáo và xin phép, còn đi nước ngoài thì khó khăn về làm thủ tục, vé máy bay, chi phí sinh hoạt. Do vậy, Giáo sư Hoàng Tụy tìm một phó giáo sư ngành tối ưu toàn cục của Tây Đức tên là Reiner Horst để hợp tác. Hai người đã hợp tác viết cuốn sách Global Optimiztion được nhà xuất bản Springer in vào năm 1990. Chỉ trong ít năm, sách đã tái bản hai lần vào năm 1993 và 1996. Tính đến tháng 5 năm 2015, cuốn sách đã được trích dẫn tới 2349 lần. Nó đánh dấu sự xuất hiện của ngành tối ưu toàn cục với tư cách một ngành khoa học có cơ sở lý thuyết chặt chẽ. Giáo sư Hiroshi Konno của Viện Công nghệ Tokyo nhận xét: Đây là ấn phẩm được nhiều nhà nghiên cứu đánh giá là cuốn “Kinh thánh” của chuyên ngành tối ưu toàn cục.
Đến nay, ngành tối ưu toàn cục đã có nhiều bước phát triển mới, và theo Giáo sư Hoàng Tụy, điều đáng mừng là ngành khoa học này vẫn “sống” rất năng động, càng ngày càng có nhiều vấn đề và phương pháp mới được quan tâm nghiên cứu và phát triển. Trong đó, có những bước đột phá như nghiên cứu về tối ưu đơn điệu, tối ưu đa thức, những bài toán với những ràng buộc cân bằng… Năm 2016, nhà xuất bản Springer ký hợp đồng với Giáo sư Hoàng Tụy để tái bản cuốn sách Convex Analysis and Global Optimization (Giải tích lồi và tối ưu toàn cục). Bên cạnh việc chỉnh sửa bản in lần 1 ông còn cập nhật thuật toán hội tụ đã đăng trong bài báo năm 1964 ở Liên Xô. Giáo sư Hoàng Tụy tìm được cách chứng minh rất đơn giản, chỉ chỉnh một chi tiết nhỏ trong phương pháp cũ. Cuốn sách Convex analysis and global optimization (Giải tích lồi và tối ưu toàn cục) được tái bản lần thứ nhất vào tháng 5 năm 2016, cuốn sách được coi là công trình để đời của ông. Theo số liệu website của Nhà xuất bản Springer đưa ra, bản ebook của cuốn sách được tải về 34.000 lần. Cuốn sách này cùng với cuốn Global Otimization – deterministic approaches (Tối ưu toàn cục: Các phương pháp tiếp cận tất định) được coi như cẩm nang của ngành tối ưu toàn cục.
Đánh giá về đóng góp của Giáo sư Hoàng Tụy với ngành tối ưu toàn cục, Giáo sư, Tiến sĩ khoa học Hoàng Xuân Phú cho rằng: Trong số (155 công trình của Giáo sư Hoàng Tụy) có nhiều bài báo hết sức độc đáo, có những bài mang tính tiên phong, khai sinh ra cả những hướng nghiên cứu mới cho toán học. Bài báo đăng năm 1964 trên Doklady của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô là một ví dụ. Nó đã đưa Hoàng Tụy trở thành cha đẻ của chuyên ngành tối ưu toàn cục. Không chỉ có công sinh thành mà sau gần nửa thế kỷ, Giáo sư vẫn là người thuyền trưởng vững tay chèo lái con tàu quốc tế ấy. Nhiều nhà khoa học quốc tế cũng đánh giá cao những đóng góp của ông. Hai giáo sư Nhật Bản Hiroshi Konno và Takahito Kuno đã từng viết trong Tạp chí Global Optimization (1999): Ông (Giáo sư Hoàng Tụy) trở thành người dẫn đường của lĩnh vực tối ưu toàn cục đang phát triển của chúng ta… Hoạt động của ông không hề giảm đi mà thậm chí còn tăng lên trong những năm gần đây. Ông luôn thúc đẩy mọi người bằng những ý tưởng mới. Rất hi vọng rằng ông sẽ tiếp tục là người dẫn đường của lĩnh vực này trong thật nhiều năm nữa. Trong gần 60 năm hoạt động khoa học, theo thống kê chưa đầy đủ các công trình nghiên cứu của Giáo sư Hoàng Tụy đến năm 2011, Giáo sư Hoàng Tụy đã viết hơn 150 bài báo nghiên cứu, một số giáo trình và ba cuốn sách chuyên khảo.
