Ủy ban khoa học Nhà nước xem toán học và vật lý học là hai môn cơ sở của khoa học hiện đại đồng thời nhận định rằng các bước đầu có được xây dựng vững vàng ở bậc trung học thì sự phát triển của nền khoa học non trẻ ở nước ta mới được bảo đảm nhanh chóng và có chất lượng cao. Do đó Ủy ban rất coi trọng Hội nghị này, và hôm nay đồng chí Lê Văn Thiêm, trưởng Ban toán lý của Ủy ban và tôi xin nhiệt liệt chào mừng tất cả các bạn đồng nghiệp đã đến đây họp bàn về những vấn đề quan trọng để thực hiện những chỉ thị của Bộ Giáo dục nhằm cải tiến công tác giảng dạy toán lý ở cấp III phổ thông.

Qua các bản báo cáo đã được nghe, chúng tôi rất phấn khởi thấy một mặt sự hướng dẫn của Vụ phổ thông thuộc Bộ Giáo dục là chính xác, mặt khác thì các thầy giáo của chúng ta có nhiều kinh nghiệm quý báu và đã cố gắng đúc kết các kinh nghiệm đó một cách toàn diện và sâu sắc. Về mặt này, chúng tôi chỉ có việc là học tập kinh nghiệm và tinh thần trách nhiệm, cũng như nhiệt tình yêu nghề của các bạn. Sau đây, về phần tôi xin góp một số ý kiến cá nhân để các bạn có thêm tài liệu tham khảo.

GS Tạ Quang Bửu luôn trăn trở với những ''sản phẩm con người''

Phần thứ nhất: Thử phân tích nội dung, phương pháp suy luận và vị trí của toán học ở phổ thông cấp ba

1– Học sinh tiếp thu khá đầy đủ một ngôn ngữ khó hình thức hóa

Ở cấp I và cấp II, toán chưa và không nên học nhiều, nhưng rất quan trọng. Các em bắt đầu lấy dấu thay vào vật, dấu 2 thay vào hai con bò, hai con trâu, hai ngón tay, hai que đũa v.v… dấu 3 thay vào ba cái nhà, ba quả cam, ba ngón tay, ba que đũa v.v… Các em lại tiếp thụ một số phép trên các dấu đó để từ hai dấu này tìm được một dấu thứ ba theo một quy tắc nhất định. Các dấu là

0, 1, 2, …, 9

và các phép là định nghĩa bởi các quy tắc, quy nạp từ một số thí nghiệm, như phép cộng là định bởi

2+3 = 5

3+4 =7

và phép nhân là định bởi

2.3 = 6

7.9 = 63

……

Trong vài trường hợp thật đơn giản các em lấy một số ngón tay là hai ngón tay, rồi thêm một số ngón tay là ba ngón tay, rồi nghiệm rằng tổng số là năm ngón tay, và như vậy các em thấy các phép mình học là đúng, thấy rằng chân lý của toán học là cái gì không giống thực tế nhưng lại phù hợp với thực tế. Thực ra các em chỉ thí nghiệm vài lần thôi, nhưng như thế cũng đủ để các em tin tưởng, và trong tất cả các trường hợp khác các em chỉ có việc học thuộc lòng bảng cửu chương, tức là một số phép trên một số dấu để được những dấu khác. Ở đây rất ít khi các em nghĩ đến các số (number) và sự thật là chỉ nghĩ đến các dấu – sổ (number sign)[1]. Chúng ta phải thừa nhận rằng, làm như vậy là dĩ nhiên vì thông thường rất ít người hình dung được quá sổ bảy, trừ những trường hợp các người tính nhẩm kỳ dị, như Inaudi, một người chắn cừu mà người ta nói rằng trong đàn cừu hàng ngàn con của anh ta, nếu thiếu một con thì anh ta cảm thấy ngay. Phải nói thêm rằng Inaudi, người có khả năng “thấy”, con số một cách trực quan như vậy, sau khi đã được một nhà toán học mất nhiều công bồi dưỡng anh thì anh ta lại tỏ ra chỉ là một người tính nhanh chứ không phải là một người toán giỏi, và về sau anh ta chỉ đi biểu diễn ở trong các rạp xiếc. Hơn nữa, vấn đề số là gì ? là một vấn đề rất khó, và phải đến đầu thế kỷ thứ XX, Rus- sell và Frege mới đưa ra một câu trả lời tương đổi thỏa mãn, nhưng câu trả lời đó thì lại không những khó hiểu đối với trẻ con mà ngay những người lớn, kể cả các thầy dạy toán như chúng ta, cũng phải để nhiều công mới hiểu tương đối rõ.

Cho nên, toán học đối với trẻ em thường là một thứ ngôn ngữ mới, một mật mã với những dấu và những quy tắc quy định những quan hệ giữa dấu và dấu (quy tắc ngữ pháp – règles syntaxiques) và những quy tắc đề phiên dịch các dấu đó thành ra số (quy tắc ngữ nghĩa règles sémantiques).

Nhìn kỹ thì dấu ở đây có hai mặt: Một là, lúc làm phép ta chỉ áp dụng những quy tắc ngữ pháp, lúc đó dấu không có nghĩa gì cả, dấu: không có nghĩa là ba quả cam, mà cũng không có nghĩa là ba nữa! Làm phép rồi, ta được dấu 5 chẳng hạn, thì lúc đó ta mới áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà được năm quả cam: quy tắc ngữ nghĩa đã đưa ta trở về thực tiễn. Lúc ấy ta mới thấy chân lý, có nghĩa là đúng hay sai. Trước đó, trong khi làm phép thì chân lý chỉ có nghĩa là đúng quy tắc.

Hai là, ở cấp I vì các tính toán còn đơn giản, trẻ em luôn luôn có luật mật mã trong tay đề khi cần thì dở luật ra xem (bấm độn trên ngón tay chẳng hạn) và áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà dịch dấu số thành số. Về sau các tính toán phức tạp hơn và thời gian làm những việc không có nghĩa[2] sẽ kéo dài dần và học sinh làm toán nói chung là áp dụng ngữ pháp, và thầy chấm bài cũng là kiểm tra ngữ pháp. Trong quá trình đó, năng lực trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh được nâng cao dần, và các em càng ngày càng tin tưởng vào sức mạnh mới của mình.

Ở cấp I và cấp II, trẻ em học toán và làm toán cảm thấy mình sáng tạo về hai mặt: một là đứng về trực quan thì thấy rõ mình hành động tự do vì con số dễ vận dụng hơn các vật nhiều. Các em dễ dàng cộng 20.000 với 30.000 để được 50.000, còn nếu phải xếp hàng hai vạn con bò, rồi thêm ba vạn con bò đề được năm vạn con bò thì rõ ràng là không thể làm được. Các em có cảm tưởng muốn làm gì, với con số nào cũng được. Nhưng mặt khác khi làm việc này các em nhận thấy ngay rằng việc sáng tạo tự do của mình phải đi đôi với một kỷ luật nghiêm khắc trong việc chấp hành các quy tắc đã được vạch ra, nếu không thì sẽ sai, tức là kết quả sẽ không phù hợp với thực tiễn. Sáng tạo trong kỷ luật là một thu hoạch hết sức quan trọng mà môn toán mang lại cho con em chúng ta, một thu hoạch mà các thầy giáo chúng ta, theo tôi, chưa đánh giá đúng mức.

Tuy nhiên, việc sáng tạo của trẻ em diễn ra trong một vũ trụ đặc biệt – vũ trụ các dấu, vũ trụ của cái gián đoạn, của cái tổ hợp (combinatoire)[3]. Cho nên, các thầy cấp I và cấp II nên hoan nghênh việc các em phải giỏi về các bộ môn khác như sử, địa, lý, văn; hoan nghênh việc đọc tiểu thuyết, đọc Phong thần, Tây du, Thủy hử, tức là ham thích sự sáng tạo trong vũ trụ của liên tục, của biến hóa, của không – tỏ – hợp. Làm như vậy chúng ta không những không hạn chế việc phát triển toàn diện của học sinh mà còn mở đường cho sự phát triển toán học sắp tới ở cấp III là toán học của hình học và sổ thực, biến hóa và liên tục.

Cuối cấp II và đầu cấp III, khả năng của học sinh hành động trong vũ trụ dấu, vũ trụ không có nghĩa, vũ trụ của ngữ pháp kéo dài lâu hơn. Từ lớp sáu, học sinh bắt đầu dùng những dấu mới tức là con chữ thay vào đầu sổ. Học sinh bắt đầu làm quen với các biến, tức là các dấu có nhiều trị. Các biến, giống như Tôn Hành Giả, khi là con khỉ, khi là Ngưu Ma Vương, khi là tiểu yêu[4], thần thông biến hóa, làm cho khả năng sáng tạo của học sinh tăng lên nhiều, hành động được tự do hơn, các quy tắc có nhiều sức mạnh hơn và việc vận dụng các quy tắc đó đã có tính chất gần như máy móc; học sinh giải được nhiều bài toán có ý nghĩa phong phú và sâu sắc hơn. Học sinh đã viết được hàng tràng công thức nổi tiếp nhau, không có ý nghĩa nào khác là đúng quy tắc, cho nên học sinh đã thấy hình thành trước mắt mình những trang mật mã của đại số học, những cái sẽ gọi là văn kiện toán học (texte mathématique), và sẽ phải chú ý đến vấn đề nội – văn – bản (contexte). Các em phải chú ý đến nội văn bản để phân biệt tại sao số chữ này lại cho một hằng, chữ kia một thông số và chữ nọ một biến. Chữ x cho một biến vì trị của nó thay đổi trong cả văn bản. Chữ a cho một hằng vị trị của nó không thay đổi trong văn bản, nhưng ngoài văn bản ta có thể tùy ý thay đồi trị của nó. Còn nếu trị của nó là hằng trong từng bộ phận lớn của văn bản thì ta có một thông số, và khi biện luận, tài của học sinh là xác định các bộ phận đó của văn bản[5].

Đến cuối cấp II, một mặt học sinh đã tương đối làm chủ mật mã toán học. Các bài làm có khi kéo dài ba, bổn trang công thức, phần viết bằng tiếng Việt càng ngày càng thu hẹp vào các từ ngữ “do đó”, “cho nên” tức là một số rất nhỏ các từ ngữ thuộc về siêu toán học. Đến cuối bài tập, sau khi kết thúc quá trình ngữ pháp đó bởi một công thức, học sinh mới điền các hằng số đã cho để được một đầu số mà em sẽ dịch ra ngôn ngữ và ý nghĩa hàng ngày. Khi đó em đã ra khỏi vũ trụ dấu và trở về thực tiễn. Mặt khác, các học sinh từ lớp chín đã tiếp thụ khái niệm hàm số, số thực cùng với những quy tắc mới để xây dựng các khái niệm phức tạp hơn và suy luận quanh co và dài hơn. Sức mạnh của các em đã tăng lên nhiều. Sức trừu tượng hóa và hình thức hóa đã đến độ khá cao, và các thầy cần ra những bài toán khá dài và có ý nghĩa thực tiễn đề bồi dưỡng sức suy luận đồng thời đưa các học sinh trở về với đời sống, với sản xuất.

Tóm lại, điều căn bản mà tôi muốn nói với các đồng chí là qua mười năm ở bậc phổ thông, các trẻ em đã đi từ những trò chơi mật mã đơn giản mà tiến dần đến làm chủ một ngôn ngữ toán học phong phú và chặt chẽ, chính xác và uyển chuyển, chứa gần như toàn bộ số học và phần cơ sở của giải tích học.

2 – Học sinh học suy luận theo phương hướng kiến thiết và phương hướng tiên đề

Song song với việc làm chủ ngôn ngữ mới này, học sinh làm quen với công cụ suy luận cơ bản, một số công cụ logic như modus ponens, và quy tắc thay thế, một số công cụ toán học như quy nạp toán học[6]. Nhưng điều tôi muốn nêu lên với các bạn hôm nay là ở bậc phổ thông, đặc biệt là ở cấp III, học sinh đã làm quen với hai phương hướng cơ bản để làm cho toán học thêm chặt chẽ: một là phương hướng tiên đề (axiomatique), hai là phương hướng kiến thiết (constructif)[7]. Phương pháp tiên đề đã phát triển nhiều và được phổ biến khá rộng nên tôi sẽ chỉ nhắc qua một số điểm, chủ yếu là đề đối lập với phương hướng kiến thiết mà tôi muốn trình bày kỹ hơn vì nó là phương hướng của bậc phổ thông, đồng thời là phương hướng tương lại mặc dầu hiện nay nó chưa phát triển tốt lắm. Như các bạn đều biết, chúng ta có ba trình độ tiên đề hóa :

Ở trình độ thứ nhất, ta có sẵn một thuyết toán học đã phát triển. Trong lớp tất cả các định lý của nó ta chọn một số nhỏ, không thừa không thiếu, độc lập với nhau, mà từ đó ta rút ra tất cả các định lý kia, không thừa (nhất quán) không thiếu (đầy đủ). Ở trình độ tiên đề hóa này, ta có một hệ tiên đề có nội dung.

Ở trình độ thứ hai, ta có hệ tiên đề hình thức mà tiêu biểu là hệ tiên đề hình học của Hilbert. Ở đây ta xuất phát từ một số công thức lấy làm tiên đề, rồi bằng những quy tắc hoàn toàn hình thức ta rút ra các công thức khác sao cho các công thức đó là tất cả các công thức hữu hiệu, và hệ tiên đề của ta là nhất quán.

Ở trình độ thứ ba, thuyết của ta trở thành một thuyết tinh toán (calcul). Ta xuất phát từ những dấu nguyên thủy, một số quy tắc xây dựng, một số quy tắc biến đổi sao cho việc suy luận để rút các định lý ra từ các tiên đề là một sự tính toán không được để một sơ hở nào cho trực quan và cho sự nhầm lẫn.

Nhưng đạt đến trình độ tiên đề hóa cao nhất này, Hilbert tìm cách để đánh giá nó, đặc biệt là để chứng minh tính nhất quán của hệ mà ta xây dựng. Nói cách khác, ta cần có một siêu toán học hoàn toàn tin cậy để nói về toán học đã xây dựng. Muốn vậy, siêu toán học này phải là một hệ hết sức thô sơ, xuất phát từ một số rất ít các dấu, ví dụ như 0 và / (gậy) và một số rất ít các quy tắc xây dựng, cùng với một số rất ít các quy tắc suy lý, và việc vận dụng các dấu và các quy tắc đó phải hết sức đơn sơ, minh bạch (Hilbert đòi hỏi phải là hữu hạn), sao cho không có chỗ hở nào để lọt bất cứ sự mơ hồ nào, đơn sơ và sáng sủa gần giống như toán học ở các năm đầu của bậc phổ thông vậy. Một siêu toán học như vậy, theo lời Hilbert, phải có tính chất kiến thiết.

Tóm lại, Hilbert cho rằng phương hướng kiến thiết là để kiểm tra và bảo đảm tính chặt chẽ cho phương hướng tiên đề. Nhưng đối với một số nhà toán học khác bắt đầu từ Kronec- ker, Poincaré, Borel, Lebesgue, Brouwer (1907), Weyl, Skolem, rồi Kolmogorov, Kleene, Good – stein, Markov v.v…thì phương hướng kiến thiết không phải chỉ là một công cụ kiểm tra đối với phương hướng tiên đề mà là phương hướng duy nhất đúng của toán học. Hai phương hướng ấy khác nhau ở chỗ nào ?

Trong toán học tiên đề (viết tắt cho toán học theo phương hướng tiên đề) không có vật đối tượng mà chỉ có một hệ mệnh đề mô tả một cảnh giới đối tượng. Đồng thời ta có một hệ phép trên các mệnh đề. Do đó sự tồn tại của một tập hợp (cảnh giới của đối tượng) không cần trải qua một quá trình xây dựng nào mà chỉ bằng sự phát biểu ra một mệnh đề. Đó là một đặc điểm rất khả nghi của các lý thuyết tiên đề (khuynh hướng của Platon).

Trái lại, trong toán học kiến thiết, ta xuất phát từ các vật, đối tượng có tính chất kiến thiết, thường cho ta bởi những định nghĩa quy nạp, ví dụ định nghĩa các số:

a) 1 là số

b) nếu a là số thì al là số

c) không có cái gì khác là số

Đồng thời ta tự cho những phép trên các vật đó. Một quá trình suy nghĩ là một quá trình thí nghiệm lý trí trên các vật xem là tồn tại cụ thể. Trong toán học kiến thiết, các phép nguyên thủy đều thực hiện được vì rất thô sơ. Ví dụ phép thêm một gậy (/) bên phải. Nhưng làm thế nào để phát biểu về các vật ?

Ta phải xuất phát từ số ít nhất những phát biểu đơn sơ nhất, ví dụ như đối với các dấu nguyên thủy, ta chỉ phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa hai dấu. Từ đó, bằng những nguyên tắc rất thô sơ, ta xây dựng những phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các từ, việc một từ này nằm trong một từ khác và cuối cùng, về khả năng tồn tại một đối tượng với thuộc tính này hay thuộc tính nọ v.v… Các phương tiện logic cho phép được dùng trong toán học kiến thiết là lược đồ để quy (schéma récursif) và phép chứng minh bằng quy nạp toán học. Ví dụ bằng đệ quy, ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau:

a +/ = a/                                              a./ =a

a + b / = (a + b) /                                a. b/= (a.b) + a

Những điều nói trên về toán học kiến thiết cho ta thấy rằng toán học dạy ở phổ thông có rất nhiều điểm thỏa mãn yêu cầu của toán kiến thiết. Về số học và đại số học ở cấp I và cấp II thì rất rõ. Về hình học Euclid, tuy có nhiều tranh cãi chưa kết luận, nhưng theo tôi thì hình học này không phải là một thuyết tiên đề mà là một thuyết mang nhiều tính chất kiến thiết. Hình học này không xuất phát từ những tiên đề hình học, mà những tiên đề logic học như: bộ phận nhỏ hơn toàn thể; hai cái bằng một cái thứ ba là bằng nhau v.v… còn các cơ sở của hình học thì chúng đều đặt trong các định đề.

Về phương pháp thì hình học Euclid là đặc trưng bởi:

1) Các tiên đề logic số học, cũng như các định đề hình học đều khẳng định khả năng thực hiện phép này hay phép nọ.

2) Các định lý chỉ nói về quan hệ giữa các phần tử trong hình đang xây dựng[8].

3) Các đối tượng toán học không xem là tồn tại trước khi chúng được xây dựng. Tuy nhiên, mặc dầu xuất phát điểm đơn sơ và chặt chẽ như vậy nhưng việc tiếp tục phát triển toán học kiến thiết gặp những khó khăn hết sức to lớn. Quả vậy, toán học kiến thiết mà ta vừa xây dựng là một thuyết còn có chứa nội dung. Câu hỏi đặt ra là: có thể hình thức hóa nó được không? và nếu được thì nên làm như thế nào ?

Theo phương hướng tiên đề thì ta hình thức hóa trong lòng của toán tân từ kinh điển, còn toán học kiến thiết có thể hình thức hóa hoặc trực tiếp trong hệ hình thức của các hàm đệ quy[9] tức là các toán thuật, hoặc trong toán tiên đề kiến thiết.

Ta hãy thử hình thức hóa trong toán tiên đề kiến thiết.

Vấn đề là có thể tiên đề hóa toán học kiến thiết được không? tức là trình bày nó trong một hệ tiên đề ở trình độ thứ ba[10]. Hệ tiên đề đó không thể là toán tân từ kinh điển vì trong việc cắt nghĩa kiến thiết thì trong các công thức chứng minh được, ta có những công thức lại tỏ ra sai về mặt kiến thiết, ví dụ Vx(A)\ \A(2))[11] và như vậy là toàn tân từ kinh điển là không nhất quán đối với thuộc tính của chân lý kiến thiết. Hệ tiên đề đó cũng không phải là toán tân từ kiến thiết tiên đề hóa, vì hệ đó là nhất quán đối với chân lý kiến thiết nhưng nó sẽ không đầy đủ đối với chân lý kiến thiết. Tồn tại những công thức đúng về mặt kiến thiết nhưng lại không hữu hiệu (ví dụ 7 Vx (A (2)V TA (2)), tức là không chứng minh được trong toán tân từ kiến thiết. Hiện nay vấn đề tiên đề hóa toán học kiến thiết như vậy là chưa giải được.

Hãy tìm con đường khác.

Chúng ta hãy thử tìm một thứ toán mà là hình thức hóa trực tiếp của kỹ thuật đệ quy, ví dụ: hệ hình thức của các hàm đệ quy, các toán thuật của Markov, các hàm tinh được của Turing v.v…Vấn đề đặt như vậy rất thú vị nhưng còn gặp nhiều khó khăn[12]. Để ước lượng các khó khăn này một cách không đi vào kỹ thuật như trên, ta có thể nói rất nôm na rằng các nhà toán học kiến thiết không thừa nhận sự tồn tại của cái gì mà không có toán thuật đề xây dựng. Họ không thừa nhận vô điều kiện những điều hiển nhiên đối với toán học kinh điển và đã làm cho toán học kinh điển rất phong phú, như định lý cơ bản của đại số học, định lý Canchy, định lý Rolle, định lý Lagrange. Họ không thừa nhận cả định lý nói rằng một dãy tăng mà có chặn trên là một hội tụ v.v… Họ rất thận trọng đối với phủ định, vì ~7 A thật đáng nghi ngờ về mặt kiến thiết. Do đó, họ không thừa nhận vô điều kiện 77ADA và đặc biệt là họ phủ nhận tertium non datur AVA. Cũng theo phương hướng đó, họ không thừa nhận vô hạn thực tại vì rõ ràng là vô hạn đó không xây dựng được, và họ chỉ thừa nhận vô hạn những sự bứt rứt lương tâm gây ra bởi các tiềm năng[13].

Những yêu cầu của họ là rất hợp lý và rất tự nhiên đối với toán học ở bậc phổ thông, nhưng nếu nghe họ thì toàn bộ toán học kinh điển, một lâu đài đẹp để xây dựng từ mấy ngàn năm nay, sẽ sụp đổ gần hết, chỉ còn đứng trơ số học và đại số, một phần lớn của topo và của lý thuyết hàm số phức, còn toàn bộ giải tích cổ điển thì phải xóa đi, và hình học không còn ý nghĩa độc lập gì đáng kể nữa ! Nhưng mặt khác, toán học kiến thiết lại là một vấn đề hết sức quan trọng của máy tính điện tử, của tự động hóa và của nhiều kỹ thuật hiện đại, vì các phương tiện tối tân đó đều đòi hỏi phải có toán thuật, chúng đều phủ nhận vô hạn thực tại v.v… Cho nên các nhà toán học kiến thiết đang gian khổ xây dựng lại lâu đài toán học mà họ đã đập phá một cách dữ dội[14].

Vấn đề chủ yếu ở đây là xây dựng lại giải tích học, bắt đầu từ số thực. Việc này Turing đã bắt đầu từ năm 1937, nhưng đến Markov (1955) mới giải được tốt. Cũng trong công trình đó, Markov đưa vào khái niệm hàm kiến thiết biến số thực. Gần đây áp dụng phương pháp tương tự với các phương pháp làm đầy đủ các không gian mêtric, phương pháp rất có hiệu lực trong topo và giải tích hàm, nhà toán học Liên Xô, Sanin đã đưa vào toán học kiến thiết những khái niệm giống như các tập đo được, hàm đo được, hàm tổng được, hàm tổng được bậc p (p số nguyên dương), hàm suy rộng vv… (Xem bài của Sanin: Sổ thực kiến thiết và những không gian phiếm hàm kiến thiết tr. 15 – 294, công trình của Viện toán học Steklov LXVII, 1962).

Sở dĩ nói hơi dài với các bạn về toán học kiến thiết là vì quan điểm kiến thiết là quan điểm của toán học ở bậc phổ thông đồng thời là một quan điểm của toán học tương lai. Nhiệm vụ của các bạn là tập cho học sinh suy luận, nên các bạn cần biết khá rõ thế nào là suy luận. Hơn nữa, hiện nay giữa toán học phổ thông và đại học có một sự gián đoạn làm cho học sinh tốt nghiệp phổ thông ý kiến về một số vấn đề mà các đồng chí đã ra sản xuất mà tự học thêm hoặc được tuyển vào đại học, họ vừa thích thú với sức mạnh mới của mình, vừa bỡ ngỡ khi họ từ các quan điểm hữu hạn và kiến thiết của số học và đại số học bước vào số thực và giải tích của năm đầu ở bậc đại học. Về sau, từ tốt nghiệp đại học đến khi ra nghiên cứu toán học họ lại bỡ ngỡ một lần nữa vì họ phải bước từ tình hình êm đẹp của toán học kinh điển và của phương hướng tiên đề hóa sang sự bức rứt lương tâm gây ra bởi các định lý Godel và các sự công kích của các nhà toán học kiến thiết. Chắc rằng sự phát triển tốt của toán học kiến thiết sau này sẽ thực hiện mộng lâu đời của các nhà toán học là thống nhất cái tính toán được và cái chứng minh được, và nhờ đó sẽ làm cho việc dạy toán và học toán từ phổ thông qua đại học đến đời hoạt động của một nhà toán học tương lai có thể liên tục và biến diễn tự nhiên hơn, trừ khi chúng ta lại còn phải gặp những sự bất ngờ khác mà ta chưa thể nói rằng đó là may hay rủi cho việc sáng tạo toán học.

3 – Học sinh cấp III ở tuổi quyết định về mặt đào tạo các nhà toán học tương lai

Việc giảng dạy toán ở phổ thông cấp III có một ý nghĩa quyết định đối với việc đào tạo ra những nhà toán học tương lai. Vì sao ? vì học sinh vào cấp III với lớp tuổi 14 – 15 là tuổi trẻ em có khả năng tiếp thụ bất ngờ về mặt toán học. Đồng thời cũng là tuổi mà năng khiếu toán học bộc lộ ra rõ rệt. Trước tuổi này, giỏi toán không có ý nghĩa gì lắm. Từ đây sẽ phân ra dần dần những em nào có khiếu, những em nào không. Hơn nữa, lịch sử của toán học cho biết các nhà toán học lớn đều tỏ ra hết sức xuất sắc từ 18 – 19 tuổi. Người ta thường đơn cử ví dụ của de Broglie đỗ cử nhân về sử học rồi mới bắt đầu học toán, nhưng các ví dụ đó là hãn hữu, còn nói chung trước hai mươi tuổi họ đã tiếp thụ hầu hết những vấn đề cơ sở và sau đó chỉ còn phát triển thêm lên. Cho nên, thầy giáo cấp III có một trách nhiệm rất lớn và các bạn cần tranh thủ thời gian ba năm mà trẻ em sẽ ở cấp III (14 đến 17 tuổi) mà gây cho em những tác phong tốt bên cạnh những kiến thức thật chắc chắn về toán học.

Phần thứ hai: Một số góp ý về phương pháp giảng dạy

Trên cơ sở phân tích như trên, xin góp ý đề ra.

1 – Vấn đề cơ bản theo tôi là: Thế nào là hiểu và học ở bậc phổ thông cấp III; và tốt nghiệp cấp II, học sinh ra đời hoặc vào đại học đã biết làm gì và biết gì về toán học ? Theo sự phân tích trên đây thì ở bậc phổ thông, toán học không đòi hỏi phải đi vào bản chất của sự vật mà đòi hỏi học sinh tiếp thu vững chắc một số định nghĩa và một số quy tắc. Về vai trò quan trọng của định nghĩa, tôi chỉ xin nhắc lại một lời dặn rất cơ bản của một thầy dạy toán nổi tiếng. Jacques Hadamard: “Phải luôn luôn thay cái bị định nghĩa bởi các định nghĩa”[15]. Ví dụ phần lớn các bài toán không giải được là vì trẻ em quen thay số chẵn (cái bị định nghĩa) bởi 2n (cái định nghĩa) hoặc hình tam giác cần (cái bị định nghĩa) bởi hình tam giác có hai cạnh bằng nhau (cái định nghĩa) v.v… Còn về các quy tắc thì tôi xin phép nhắc rằng, theo tôi, thì “hiểu” trong toán học phổ thông chủ yếu là biết cách tận dụng linh hoạt và vững chắc các quy tắc xây dựng cũng như các quy tắc suy lý mà học sinh đã học được. Không nên nhấn mạnh quá nhiều về lý lẽ, thực chất, hoặc mất thì giờ nêu lên những quan hệ bỏng bẩy giữa dấu và vật (ngữ nghĩa) mà cần làm cho học sinh thấy và nhớ các quan hệ giữa dấu và dấu (ngữ pháp). Còn về hình học thì thấy và nhớ những quan hệ giữa các phần tử của vật đang xây dựng hơn là những quan hệ giữa vật đã sẵn có với ngoại giới và với các vật khác cũng sẵn có. Tôi không phản đối việc đi sâu vào bản chất và nguyên lý, nhưng đó là việc của thầy, những thầy đã có khá nhiều kinh nghiệm về nghiên cứu và giảng dạy, chứ không phải những điều để nói với học sinh.

Do đó, mục tiêu phẫn đấu của chúng ta là làm cho học sinh tốt nghiệp lớp 10 phải biết làm một số việc như biến đổi đại số, giải một số phương trình đại số, tính được một số đạo hàm, vẽ một số đồ thị; còn về mặt hình học cũng phải biết làm một số động tác cần cho các chứng minh và cho việc dựng hình. Biết làm là chủ yếu còn biết nhiều về toán học chỉ là yêu cầu phụ và chúng ta phải làm sao cho học sinh thông qua biết làm mà biết nhiều và biết sâu.

Theo tôi, đó là vấn đề mấu chốt của phương pháp giảng dạy. Do đó, trong việc truyền thụ kiến thức, cần làm cho học sinh hiểu rõ các định nghĩa, nắm vững các quy tắc và tạo điều kiện cho học sinh vận dụng những quy tắc đó. Như vậy phải chăng là học thuộc lòng ? không phải, vì số quy tắc đó rất ít, và căn bản là lặp đi lặp lại nhiều lần, còn các định nghĩa thì theo quan điểm kiến thiết chúng ta xuất phát từ vài phần tử rất đơn sơ và xây dựng dần một cách tự nhiên theo phương pháp tổ hợp lại. Cho nên, học sinh phải thuộc lòng mà không phải dùng nhiều trí nhớ. Trong khi giảng, thầy cần tránh lặp lại những điều đã nói rồi trong bài đang giảng hoặc các bài giảng trước, và để dành việc lặp lại đó vào các bài tập. Thầy cần tránh nói sai đề sau phải cải chính lại, vì cải chính chỉ xóa bỏ cái sai của thầy chứ không xóa được cái sai mà trò đã tiếp thu. Cần hết sức tránh mơ hồ và nhập nhằng vì công dụng của ngữ pháp toán học là để tránh những ánh xạ không đơn trị của vũ trụ thực tế vào ngôn ngữ hàng ngày. Cho nên đưa những khuyết điểm và nhược điềm của ngôn ngữ hàng ngày trở lại vào ngôn ngữ toán học phải được xem là một bước tụt lùi cần được chấm dứt sớm.

2 – Cũng trên tinh thần đó mà ta giải quyết vấn đề cân đối giữa bài giảng và bài tập

Về ý nghĩa quan trọng của bài tập, các bạn đã nói rõ trong các bản báo cáo tôi đã nghe ở hội nghị. Tôi chỉ xin nhắc thêm rằng trong một đại hội các nhà toán học thế giới năm 1900, nhà toán học Hilbert, người được cử ra báo cáo về phương hướng phát triển toán học trong thế kỷ thứ hai mươi, đã làm tốt bản báo cáo quan trọng mà nội dung chủ yếu là danh sách hai mươi ba bài toán đề nghị các nhà toán học tương lai giải quyết. Kinh nghiệm sáu mươi năm vừa qua chứng tỏ rằng các cố gắng để giải hai mươi ba bài đó (phần lớn chưa giải được) đã đóng góp nhiều trong việc thúc đẩy toán học hiện đại phát triển mạnh.

Ở bậc phổ thông, bài tập nên theo sát từng đợt các bài giảng để học sinh nắm vững định nghĩa và quy tắc. Rõ ràng là không cần nhiều bài tập mà cần một số ít nhưng thật tiêu biểu, nhất định phải làm được. Trên cơ sở các bài tiêu biểu đó, khuyến khích học sinh tự làm những bài tập khác tương tự, càng nhiều càng hay, nhưng không nên nhiều quá vì còn phải học các môn khác. Cách sách giáo khoa Liên Xô đã giúp ta thấy tác dụng tốt của từng bài tập ngắn nhằm những mục tiêu nhất định. Nhưng như trên kia đã nói, chúng ta cũng cần từng thời gian ra những bài tập tương đối dài để học sinh tập cho dai sức, khắc phục dần tinh thần ngại khó, thấy toán học là một sự xây dựng phức tạp, cân đối và không kém mỹ thuật, hào hứng.

Trong khi chấm bài không nên chỉ chạy theo những lời giải thần tình để phát hiện thần đồng mà cần kiểm tra chặt chẽ về mặt ngữ pháp toán học đối với tất cả các học sinh. Làm như vậy không những quan tâm đến số đông học sinh, mà còn thể hiện một chân lý: thần đồng toán học là một quá trình xây dựng chứ không phải chỉ là một hiện tượng bẩm sinh.

3 – Xuống tận con số và tính toán gần đúng

Hiện nay ở bậc phổ thông cũng như đại học, nhưng gốc là ở phổ thông, một hiện tượng xấu là học sinh cũng như sinh viên làm bài tập thường chỉ vạch ra phương hướng giải bài toán, và hình như không thèm đi vào tính toán cụ thể để được những con số, và lấy con số so sánh với thực tế. Đây phải xem là một tật xấu cần chữa sớm và chữa tận gốc, bằng cách ra bài tập thích ứng và lúc chấm phải chú ý thích đáng đến ngữ pháp cũng như đến kết quả thành số. Không cần lấy ví dụ đâu xa (như tinh thần các lớp Math speci- ales của Pháp) các học sinh của ta nên biết rằng các đồng chí Nguyễn Hoàng Phương và Nguyễn Văn Hiệu là nhũng nhà toán học chuyên về các hướng lớn trong vật lý lý thuyết, nhưng các đồng chí đó tiến bộ nhanh là vì các đồng chí đó đã phải tự mình làm những tính toán cụ thể rất phức tạp, dài và tinh vi. Riêng đồng chí Hiệu không những phải vạch ra phương hướng mà còn phải tính toán cụ thể đến mức góp phần bớt mò mẫm cho công tác thí nghiệm của các nhà vật lý thực nghiệm ở máy gia tốc của Viện Đupna. Coi thường tính bằng số không những là một phương hướng tách rời thực tế mà còn là một sự tự bịt mắt để không thấy những sự huyền diệu mà con số còn để dành cho sự phát minh về toán học.

Cũng trên tinh thần này phải hết sức coi trọng việc tính gần đúng. Ở đây cần chú ý đến kết quả gần đúng đi từ những dữ kiện gần đúng chứ không nên chỉ đi từ những dữ kiện đúng. Đây là một vấn đề chuẩn bị cho học sinh dễ liên hệ với thực tiễn, và về mặt lý luận dần dần thấy tác dụng lớn lao của mò mẫm trong sáng tạo và phát minh.

Ví dụ các phát minh đặc sắc trong lý thuyết hàm số phức của Cauchy, Weierstrass, Maclaurin, Picard, đều là những sự mò mẫm thần tình xung quanh một trị mà ta chưa có cách đạt được.

Trong thực tiễn sản xuất cũng như trong nghiên cứu khoa học, ít khi ta tính một số từ những số đã biết, mà thường là tính một khoảng số, từ những khoảng số đã biết. Các em phải sớm làm quen với cách đặt vấn đề như vậy.

Liên quan đến vấn đề này là vấn đề nháp nhiều hay nháp ít. Theo tôi, học sinh ta nháp quá nhiều, nháp rất bản và điều tra kỹ vào bản nháp thì thấy rõ ràng đa số học sinh cầm bút là cứ viết liên tục, chứ không để thì giờ suy nghĩ trước khi viết. Chúng ta nên kiên quyết tập cho học sinh từ bé cân nhắc trước khi viết, biết quý sự viết ít mà đúng, làm sao chỉ nháp cũng một lần, và bản nháp đã gần như bản sạch. Sau này tính toán càng ngày càng phức tạp, càng dài, nếu như phải nhập như hiện nay thì suốt đời cũng không đủ thì giờ viết nháp. Viết nháp nhiều chứng tỏ chưa nắm vững quy tắc.

4 – Vấn đề dụng cụ trực quan

Hiện nay các thầy ít chú ý đến việc tự làm hoặc hướng dẫn cho học sinh làm các dụng cụ trực quan. Đó là một khuyết điểm cần khắc phục, nhưng phải thấy đúng tác dụng của dụng cụ trực quan. Có ba tác dụng chủ yếu: Một là giúp những học sinh mà năng lực trừu tượng hóa kém có chỗ dựa để hiểu các định nghĩa và quy tắc. Hai là các học sinh thấy các kiến trúc toán học là đẹp để gây thêm hào hứng về học toán. Ba là giúp học sinh liên hệ với thực tiễn, đi từ ngữ pháp trở về ngữ nghĩa, và đi từ ngữ nghĩa tiến lên ngữ pháp. Tuy nhiên, mục tiêu của chúng ta là nâng cao trình độ trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh, nên chúng ta cần tránh dùng dụng cụ trực quan một khi nó không cần dùng nữa.

5 – Xây dựng từng người

Ở phổ thông, thầy phải theo dõi và xây dựng cho từng học sinh để tránh tình hình bất thường của ta hiện nay là ở phổ thông thì thầy giảng như diễn thuyết, còn ở đại học thì phụ đạo lại khá phổ biến. Để làm việc này, thầy phải tổ chức từng nhóm như đã nói trong bản báo cáo của đồng chí Phi ở Hưng Yên. Một học sinh giỏi cần tham gia hai nhóm, một nhóm học sinh giỏi và một nhóm trong đó học sinh giỏi có nhiệm vụ giúp đỡ các em kém hơn.

6 – Vấn đề liên hệ toán học với thực tiễn

Chúng ta nhận thức rằng thực tiễn là gốc của toán học, tiêu chuẩn chân lý của toán học, đồng thời là mục tiêu của toán học. Nhưng vấn đề không đơn giản lắm. Lịch sử của toán học cho biết rằng quan hệ giữa toán học và sản xuất có 3 dạng điển hình:

a) Trường hợp của hình học Euclid, nó là kết tinh của hàng nghìn năm đạc điền và đo đạc để kiến trúc ở Ai-cập, Trung-quốc và Hy-lạp. Ở đây toán học đi sau sản xuất, và nắm vững những kết quả của toán học sẽ có ứng dụng ngay trong sản xuất.

b) Trường hợp của các phương trình vi phân riêng phần phát triển song song với kỹ thuật, khuôn theo kỹ thuật mà phát triển, đồng thời đẩy mạnh sự phát triển của kỹ thuật.

c) Trường hợp của toán tenxơ và hình học Lobasepski phát triển hàng trăm năm trước khi được ứng dụng vào cơ học và vào tương đối luận của Einstein.

Tóm lại, toán học đối với từng môn và từng thời kỳ có khi đi trước, có khi phát triển song song, có khi lại đi sau sản xuất. Nhưng đó là vấn đề nghiên cứu khoa học, còn vấn đề của chúng ta không phải là tìm phương hướng phát triển toán học, mà là vấn đề dạy học toán cơ sở ở bậc phổ thông, tức là dạy những điều đúc kết kinh nghiệm sản xuất hàng ngàn năm[16], cho nên nắm vững chương trình phổ thông là chắc chắn có tác dụng thực tiễn. Hơn nữa nhiệm vụ của chúng ta không phải chỉ cung cấp cho các ngành sản xuất những người thuộc lòng một số công thức mà là những người biết suy luận chính xác để biết phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề một cách chính xác, thích hợp với yêu cầu công nghiệp hóa xã hội chủ nghĩa.

Do đó, vấn đề chính là ý thức kết hợp với sản xuất của địa phương, tìm những ví dụ tốt, ra những bài tập cho sát, và từng thời kỳ có thể đưa học sinh tham gia những công tác cụ thể đòi hỏi những tính toán đo đạc v.v…ở các hợp tác xã, công trưởng và cả xí nghiệp, nếu thấy có thể giúp ích. Tuy nhiên, không nên hấp tấp gò ép các ví dụ và bài tập chỉ có ý nghĩa sản xuất mà không kiểm soát lại kỹ chúng có mang lại gì cho học sinh về mặt ứng dụng đầy đủ và toàn diện lý luận đã học.

7 – Do đó, vấn đề chính hiện nay, về mặt bảo đảm kiến thức cũng như liên hệ với thực tiễn, không phải là thay đổi chương trình và sách giáo khoa. Mặc dầu mấy năm gần đây trên thế giới đã thảo luận nhiều về việc hiện đại hóa chương trình toán ở phổ thông, nhưng theo tôi thì cần cân nhắc thật kỹ trước khi thêm bớt vào chương trình phổ thông, còn yêu cầu trước mắt đối với thầy giáo của ta là nghiên cứu kỹ và quán triệt chương trình mà Bộ Giáo dục đã đề ra, đồng thời hết sức phát huy tác dụng của sách giáo khoa.

Tuy nhiên, về phía thầy cần phải hiện đại hóa kiến thức của mình, đặc biệt là về lý thuyết tập hợp, về logic toán, và toán hữu hạn, cơ sở của hình học và một ít topo tập hợp cũng như tổ hợp. Nhưng không phải cái gì thầy biết cũng đưa ra nói với trò mà cái chính là một khi thầy thật thấm nhuần các môn cơ sở của toán học hiện đại thì thầy sẽ hiểu rõ hơn ý nghĩa và vị trí của toán học mà mình phụ trách giảng, để chủ động nhìn xa và cải tiến phương pháp của mình và bổ túc cho học sinh giỏi.

8 – Thầy cần đọc gì để dạy tốt hơn ?

Anh Lê Văn Thiêm sẽ nói rõ hơn với các bạn làm thế nào để nâng cao kiến thức. Về mặt cải tiến giảng dạy, tôi đề nghị các bạn chú ý các tài liệu sau đây:

Klein: Toán học sơ cấp theo quan điềm cao cấp.

Hilbert: Cơ sở của hình học.

Polya: Giải một bài toán cách thế nào ?

Toán học và suy luận “nghe được”.

Hilbert và Von Cossen: Hình học vui.

Hugo Steinhaus: 100 bài tập.

Rosa Peter: Trò chơi với cái vô hạn.

Henkin: Về quy nạp toán học

và các tạp chí toán học phổ thông, những tài liệu về lịch sử toán học và tiểu sử các nhà toán học. Riêng đối với bài của Henkin (20 trang) vì là một bài khá cao nhưng lại viết cho các thầy dạy phổ thông, nên tôi sẽ trình bày trong 3 buổi cho các thầy ở Hà Nội.

Kết luận

Thời đại ta là thời đại phát triển của toán học. Nước ta tiến lên xã hội chủ nghĩa không phải qua phát triển tư bản chủ nghĩa càng đòi hỏi mọi người đều biết làm toán, và nhiều người phải giỏi toán. Các bạn không nên lo rằng chúng ta đã thừa toán so với cơ sở vật chất còn non kém của ta, mà các bạn chỉ nên lo rằng số người biết toán và trình độ toán của ta còn thấp chưa đáp ứng được yêu cầu. Như các bạn nhận định rất đúng, vấn đề mấu chốt để nâng cao trình độ toán học ở nước ta là tinh thần trách nhiệm của chúng ta – những người dạy toán. Việc tất cả chúng ta họp ở đây để bàn với nhau làm cho trong việc dạy toán ở phổ thông cấp III có một chuyển biến cách mạng là rất phù hợp với tinh thần của nghị quyết Hội nghị Trung ương lần thứ 8 và đó là một nguồn cổ vũ rất lớn cho chúng ta, một bảo đảm vững chắc cho sự thành công của hội nghị và sự tiến bộ của toán học ở nước ta.

(Lời phát biểu của Phó Chủ nhiệm Ủy ban Khoa học Nhà nước Tạ Quang Bửu tại Hội nghị về giảng dạy toán lý ở phổ thông cấp III tại Sầm Sơn tháng 9-1963, và đăng trên Tạp chí Tin tức hoạt động khoa học của Ủy ban Khoa học nhà nước, 1963)

(Lời phát biểu của Phó Chủ nhiệm Ủy ban Khoa học Nhà nước Tạ Quang Bửu tại Hội nghị về giảng dạy toán lý ở phổ thông cấp III tại Sầm Sơn tháng 9-1963, và đăng trên Tạp chí Tin tức hoạt động khoa học của Ủy ban Khoa học nhà nước, 1963)

Ủy ban khoa học Nhà nước xem toán học và vật lý học là hai môn cơ sở của khoa học hiện đại đồng thời nhận định rằng các bước đầu có được xây dựng vững vàng ở bậc trung học thì sự phát triển của nền khoa học non trẻ ở nước ta mới được bảo đảm nhanh chóng và có chất lượng cao. Do đó Ủy ban rất coi trọng Hội nghị này, và hôm nay đồng chí Lê Văn Thiêm, trưởng Ban toán lý của Ủy ban và tôi xin nhiệt liệt chào mừng tất cả các bạn đồng nghiệp đã đến đây họp bàn về những vấn đề quan trọng để thực hiện những chỉ thị của Bộ Giáo dục nhằm cải tiến công tác giảng dạy toán lý ở cấp III phổ thông.

Qua các bản báo cáo đã được nghe, chúng tôi rất phấn khởi thấy một mặt sự hướng dẫn của Vụ phổ thông thuộc Bộ Giáo dục là chính xác, mặt khác thì các thầy giáo của chúng ta có nhiều kinh nghiệm quý báu và đã cố gắng đúc kết các kinh nghiệm đó một cách toàn diện và sâu sắc. Về mặt này, chúng tôi chỉ có việc là học tập kinh nghiệm và tinh thần trách nhiệm, cũng như nhiệt tình yêu nghề của các bạn. Sau đây, về phần tôi xin góp một số ý kiến cá nhân để các bạn có thêm tài liệu tham khảo.

GS Tạ Quang Bửu luôn trăn trở với những ''sản phẩm con người''

 

Phần thứ nhất: Thử phân tích nội dung, phương pháp suy luận và vị trí của toán học ở phổ thông cấp ba

 

1– Học sinh tiếp thu khá đầy đủ một ngôn ngữ khó hình thức hóa

Ở cấp I và cấp II, toán chưa và không nên học nhiều, nhưng rất quan trọng. Các em bắt đầu lấy dấu thay vào vật, dấu 2 thay vào hai con bò, hai con trâu, hai ngón tay, hai que đũa v.v… dấu 3 thay vào ba cái nhà, ba quả cam, ba ngón tay, ba que đũa v.v… Các em lại tiếp thụ một số phép trên các dấu đó để từ hai dấu này tìm được một dấu thứ ba theo một quy tắc nhất định. Các dấu là

0, 1, 2, …, 9

và các phép là định nghĩa bởi các quy tắc, quy nạp từ một số thí nghiệm, như phép cộng là định bởi

2+3 = 5

3+4 =7

và phép nhân là định bởi

2.3 = 6

7.9 = 63

……

Trong vài trường hợp thật đơn giản các em lấy một số ngón tay là hai ngón tay, rồi thêm một số ngón tay là ba ngón tay, rồi nghiệm rằng tổng số là năm ngón tay, và như vậy các em thấy các phép mình học là đúng, thấy rằng chân lý của toán học là cái gì không giống thực tế nhưng lại phù hợp với thực tế. Thực ra các em chỉ thí nghiệm vài lần thôi, nhưng như thế cũng đủ để các em tin tưởng, và trong tất cả các trường hợp khác các em chỉ có việc học thuộc lòng bảng cửu chương, tức là một số phép trên một số dấu để được những dấu khác. Ở đây rất ít khi các em nghĩ đến các số (number) và sự thật là chỉ nghĩ đến các dấu – sổ (number sign)[1]. Chúng ta phải thừa nhận rằng, làm như vậy là dĩ nhiên vì thông thường rất ít người hình dung được quá sổ bảy, trừ những trường hợp các người tính nhẩm kỳ dị, như Inaudi, một người chắn cừu mà người ta nói rằng trong đàn cừu hàng ngàn con của anh ta, nếu thiếu một con thì anh ta cảm thấy ngay. Phải nói thêm rằng Inaudi, người có khả năng “thấy”, con số một cách trực quan như vậy, sau khi đã được một nhà toán học mất nhiều công bồi dưỡng anh thì anh ta lại tỏ ra chỉ là một người tính nhanh chứ không phải là một người toán giỏi, và về sau anh ta chỉ đi biểu diễn ở trong các rạp xiếc. Hơn nữa, vấn đề số là gì ? là một vấn đề rất khó, và phải đến đầu thế kỷ thứ XX, Rus- sell và Frege mới đưa ra một câu trả lời tương đổi thỏa mãn, nhưng câu trả lời đó thì lại không những khó hiểu đối với trẻ con mà ngay những người lớn, kể cả các thầy dạy toán như chúng ta, cũng phải để nhiều công mới hiểu tương đối rõ.

Cho nên, toán học đối với trẻ em thường là một thứ ngôn ngữ mới, một mật mã với những dấu và những quy tắc quy định những quan hệ giữa dấu và dấu (quy tắc ngữ pháp – règles syntaxiques) và những quy tắc đề phiên dịch các dấu đó thành ra số (quy tắc ngữ nghĩa règles sémantiques).

Nhìn kỹ thì dấu ở đây có hai mặt: Một là, lúc làm phép ta chỉ áp dụng những quy tắc ngữ pháp, lúc đó dấu không có nghĩa gì cả, dấu: không có nghĩa là ba quả cam, mà cũng không có nghĩa là ba nữa! Làm phép rồi, ta được dấu 5 chẳng hạn, thì lúc đó ta mới áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà được năm quả cam: quy tắc ngữ nghĩa đã đưa ta trở về thực tiễn. Lúc ấy ta mới thấy chân lý, có nghĩa là đúng hay sai. Trước đó, trong khi làm phép thì chân lý chỉ có nghĩa là đúng quy tắc.

Hai là, ở cấp I vì các tính toán còn đơn giản, trẻ em luôn luôn có luật mật mã trong tay đề khi cần thì dở luật ra xem (bấm độn trên ngón tay chẳng hạn) và áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà dịch dấu số thành số. Về sau các tính toán phức tạp hơn và thời gian làm những việc không có nghĩa[2] sẽ kéo dài dần và học sinh làm toán nói chung là áp dụng ngữ pháp, và thầy chấm bài cũng là kiểm tra ngữ pháp. Trong quá trình đó, năng lực trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh được nâng cao dần, và các em càng ngày càng tin tưởng vào sức mạnh mới của mình.

Ở cấp I và cấp II, trẻ em học toán và làm toán cảm thấy mình sáng tạo về hai mặt: một là đứng về trực quan thì thấy rõ mình hành động tự do vì con số dễ vận dụng hơn các vật nhiều. Các em dễ dàng cộng 20.000 với 30.000 để được 50.000, còn nếu phải xếp hàng hai vạn con bò, rồi thêm ba vạn con bò đề được năm vạn con bò thì rõ ràng là không thể làm được. Các em có cảm tưởng muốn làm gì, với con số nào cũng được. Nhưng mặt khác khi làm việc này các em nhận thấy ngay rằng việc sáng tạo tự do của mình phải đi đôi với một kỷ luật nghiêm khắc trong việc chấp hành các quy tắc đã được vạch ra, nếu không thì sẽ sai, tức là kết quả sẽ không phù hợp với thực tiễn. Sáng tạo trong kỷ luật là một thu hoạch hết sức quan trọng mà môn toán mang lại cho con em chúng ta, một thu hoạch mà các thầy giáo chúng ta, theo tôi, chưa đánh giá đúng mức.

Tuy nhiên, việc sáng tạo của trẻ em diễn ra trong một vũ trụ đặc biệt – vũ trụ các dấu, vũ trụ của cái gián đoạn, của cái tổ hợp (combinatoire)[3]. Cho nên, các thầy cấp I và cấp II nên hoan nghênh việc các em phải giỏi về các bộ môn khác như sử, địa, lý, văn; hoan nghênh việc đọc tiểu thuyết, đọc Phong thần, Tây du, Thủy hử, tức là ham thích sự sáng tạo trong vũ trụ của liên tục, của biến hóa, của không – tỏ – hợp. Làm như vậy chúng ta không những không hạn chế việc phát triển toàn diện của học sinh mà còn mở đường cho sự phát triển toán học sắp tới ở cấp III là toán học của hình học và sổ thực, biến hóa và liên tục.

Cuối cấp II và đầu cấp III, khả năng của học sinh hành động trong vũ trụ dấu, vũ trụ không có nghĩa, vũ trụ của ngữ pháp kéo dài lâu hơn. Từ lớp sáu, học sinh bắt đầu dùng những dấu mới tức là con chữ thay vào đầu sổ. Học sinh bắt đầu làm quen với các biến, tức là các dấu có nhiều trị. Các biến, giống như Tôn Hành Giả, khi là con khỉ, khi là Ngưu Ma Vương, khi là tiểu yêu[4], thần thông biến hóa, làm cho khả năng sáng tạo của học sinh tăng lên nhiều, hành động được tự do hơn, các quy tắc có nhiều sức mạnh hơn và việc vận dụng các quy tắc đó đã có tính chất gần như máy móc; học sinh giải được nhiều bài toán có ý nghĩa phong phú và sâu sắc hơn. Học sinh đã viết được hàng tràng công thức nổi tiếp nhau, không có ý nghĩa nào khác là đúng quy tắc, cho nên học sinh đã thấy hình thành trước mắt mình những trang mật mã của đại số học, những cái sẽ gọi là văn kiện toán học (texte mathématique), và sẽ phải chú ý đến vấn đề nội – văn – bản (contexte). Các em phải chú ý đến nội văn bản để phân biệt tại sao số chữ này lại cho một hằng, chữ kia một thông số và chữ nọ một biến. Chữ x cho một biến vì trị của nó thay đổi trong cả văn bản. Chữ a cho một hằng vị trị của nó không thay đổi trong văn bản, nhưng ngoài văn bản ta có thể tùy ý thay đồi trị của nó. Còn nếu trị của nó là hằng trong từng bộ phận lớn của văn bản thì ta có một thông số, và khi biện luận, tài của học sinh là xác định các bộ phận đó của văn bản[5].

Đến cuối cấp II, một mặt học sinh đã tương đối làm chủ mật mã toán học. Các bài làm có khi kéo dài ba, bổn trang công thức, phần viết bằng tiếng Việt càng ngày càng thu hẹp vào các từ ngữ “do đó”, “cho nên” tức là một số rất nhỏ các từ ngữ thuộc về siêu toán học. Đến cuối bài tập, sau khi kết thúc quá trình ngữ pháp đó bởi một công thức, học sinh mới điền các hằng số đã cho để được một đầu số mà em sẽ dịch ra ngôn ngữ và ý nghĩa hàng ngày. Khi đó em đã ra khỏi vũ trụ dấu và trở về thực tiễn. Mặt khác, các học sinh từ lớp chín đã tiếp thụ khái niệm hàm số, số thực cùng với những quy tắc mới để xây dựng các khái niệm phức tạp hơn và suy luận quanh co và dài hơn. Sức mạnh của các em đã tăng lên nhiều. Sức trừu tượng hóa và hình thức hóa đã đến độ khá cao, và các thầy cần ra những bài toán khá dài và có ý nghĩa thực tiễn đề bồi dưỡng sức suy luận đồng thời đưa các học sinh trở về với đời sống, với sản xuất.

Tóm lại, điều căn bản mà tôi muốn nói với các đồng chí là qua mười năm ở bậc phổ thông, các trẻ em đã đi từ những trò chơi mật mã đơn giản mà tiến dần đến làm chủ một ngôn ngữ toán học phong phú và chặt chẽ, chính xác và uyển chuyển, chứa gần như toàn bộ số học và phần cơ sở của giải tích học.

2 – Học sinh học suy luận theo phương hướng kiến thiết và phương hướng tiên đề

Song song với việc làm chủ ngôn ngữ mới này, học sinh làm quen với công cụ suy luận cơ bản, một số công cụ logic như modus ponens, và quy tắc thay thế, một số công cụ toán học như quy nạp toán học[6]. Nhưng điều tôi muốn nêu lên với các bạn hôm nay là ở bậc phổ thông, đặc biệt là ở cấp III, học sinh đã làm quen với hai phương hướng cơ bản để làm cho toán học thêm chặt chẽ: một là phương hướng tiên đề (axiomatique), hai là phương hướng kiến thiết (constructif)[7]. Phương pháp tiên đề đã phát triển nhiều và được phổ biến khá rộng nên tôi sẽ chỉ nhắc qua một số điểm, chủ yếu là đề đối lập với phương hướng kiến thiết mà tôi muốn trình bày kỹ hơn vì nó là phương hướng của bậc phổ thông, đồng thời là phương hướng tương lại mặc dầu hiện nay nó chưa phát triển tốt lắm. Như các bạn đều biết, chúng ta có ba trình độ tiên đề hóa :

Ở trình độ thứ nhất, ta có sẵn một thuyết toán học đã phát triển. Trong lớp tất cả các định lý của nó ta chọn một số nhỏ, không thừa không thiếu, độc lập với nhau, mà từ đó ta rút ra tất cả các định lý kia, không thừa (nhất quán) không thiếu (đầy đủ). Ở trình độ tiên đề hóa này, ta có một hệ tiên đề có nội dung.

Ở trình độ thứ hai, ta có hệ tiên đề hình thức mà tiêu biểu là hệ tiên đề hình học của Hilbert. Ở đây ta xuất phát từ một số công thức lấy làm tiên đề, rồi bằng những quy tắc hoàn toàn hình thức ta rút ra các công thức khác sao cho các công thức đó là tất cả các công thức hữu hiệu, và hệ tiên đề của ta là nhất quán.

Ở trình độ thứ ba, thuyết của ta trở thành một thuyết tinh toán (calcul). Ta xuất phát từ những dấu nguyên thủy, một số quy tắc xây dựng, một số quy tắc biến đổi sao cho việc suy luận để rút các định lý ra từ các tiên đề là một sự tính toán không được để một sơ hở nào cho trực quan và cho sự nhầm lẫn.

Nhưng đạt đến trình độ tiên đề hóa cao nhất này, Hilbert tìm cách để đánh giá nó, đặc biệt là để chứng minh tính nhất quán của hệ mà ta xây dựng. Nói cách khác, ta cần có một siêu toán học hoàn toàn tin cậy để nói về toán học đã xây dựng. Muốn vậy, siêu toán học này phải là một hệ hết sức thô sơ, xuất phát từ một số rất ít các dấu, ví dụ như 0 và / (gậy) và một số rất ít các quy tắc xây dựng, cùng với một số rất ít các quy tắc suy lý, và việc vận dụng các dấu và các quy tắc đó phải hết sức đơn sơ, minh bạch (Hilbert đòi hỏi phải là hữu hạn), sao cho không có chỗ hở nào để lọt bất cứ sự mơ hồ nào, đơn sơ và sáng sủa gần giống như toán học ở các năm đầu của bậc phổ thông vậy. Một siêu toán học như vậy, theo lời Hilbert, phải có tính chất kiến thiết.

Tóm lại, Hilbert cho rằng phương hướng kiến thiết là để kiểm tra và bảo đảm tính chặt chẽ cho phương hướng tiên đề. Nhưng đối với một số nhà toán học khác bắt đầu từ Kronec- ker, Poincaré, Borel, Lebesgue, Brouwer (1907), Weyl, Skolem, rồi Kolmogorov, Kleene, Good – stein, Markov v.v…thì phương hướng kiến thiết không phải chỉ là một công cụ kiểm tra đối với phương hướng tiên đề mà là phương hướng duy nhất đúng của toán học. Hai phương hướng ấy khác nhau ở chỗ nào ?

Trong toán học tiên đề (viết tắt cho toán học theo phương hướng tiên đề) không có vật đối tượng mà chỉ có một hệ mệnh đề mô tả một cảnh giới đối tượng. Đồng thời ta có một hệ phép trên các mệnh đề. Do đó sự tồn tại của một tập hợp (cảnh giới của đối tượng) không cần trải qua một quá trình xây dựng nào mà chỉ bằng sự phát biểu ra một mệnh đề. Đó là một đặc điểm rất khả nghi của các lý thuyết tiên đề (khuynh hướng của Platon).

Trái lại, trong toán học kiến thiết, ta xuất phát từ các vật, đối tượng có tính chất kiến thiết, thường cho ta bởi những định nghĩa quy nạp, ví dụ định nghĩa các số:

a) 1 là số

b) nếu a là số thì al là số

c) không có cái gì khác là số

Đồng thời ta tự cho những phép trên các vật đó. Một quá trình suy nghĩ là một quá trình thí nghiệm lý trí trên các vật xem là tồn tại cụ thể. Trong toán học kiến thiết, các phép nguyên thủy đều thực hiện được vì rất thô sơ. Ví dụ phép thêm một gậy (/) bên phải. Nhưng làm thế nào để phát biểu về các vật ?

Ta phải xuất phát từ số ít nhất những phát biểu đơn sơ nhất, ví dụ như đối với các dấu nguyên thủy, ta chỉ phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa hai dấu. Từ đó, bằng những nguyên tắc rất thô sơ, ta xây dựng những phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các từ, việc một từ này nằm trong một từ khác và cuối cùng, về khả năng tồn tại một đối tượng với thuộc tính này hay thuộc tính nọ v.v… Các phương tiện logic cho phép được dùng trong toán học kiến thiết là lược đồ để quy (schéma récursif) và phép chứng minh bằng quy nạp toán học. Ví dụ bằng đệ quy, ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau:

a +/ = a/                                              a./ =a

a + b / = (a + b) /                                a. b/= (a.b) + a

Những điều nói trên về toán học kiến thiết cho ta thấy rằng toán học dạy ở phổ thông có rất nhiều điểm thỏa mãn yêu cầu của toán kiến thiết. Về số học và đại số học ở cấp I và cấp II thì rất rõ. Về hình học Euclid, tuy có nhiều tranh cãi chưa kết luận, nhưng theo tôi thì hình học này không phải là một thuyết tiên đề mà là một thuyết mang nhiều tính chất kiến thiết. Hình học này không xuất phát từ những tiên đề hình học, mà những tiên đề logic học như: bộ phận nhỏ hơn toàn thể; hai cái bằng một cái thứ ba là bằng nhau v.v… còn các cơ sở của hình học thì chúng đều đặt trong các định đề.

Về phương pháp thì hình học Euclid là đặc trưng bởi:

1) Các tiên đề logic số học, cũng như các định đề hình học đều khẳng định khả năng thực hiện phép này hay phép nọ.

2) Các định lý chỉ nói về quan hệ giữa các phần tử trong hình đang xây dựng[8].

3) Các đối tượng toán học không xem là tồn tại trước khi chúng được xây dựng. Tuy nhiên, mặc dầu xuất phát điểm đơn sơ và chặt chẽ như vậy nhưng việc tiếp tục phát triển toán học kiến thiết gặp những khó khăn hết sức to lớn. Quả vậy, toán học kiến thiết mà ta vừa xây dựng là một thuyết còn có chứa nội dung. Câu hỏi đặt ra là: có thể hình thức hóa nó được không? và nếu được thì nên làm như thế nào ?

Theo phương hướng tiên đề thì ta hình thức hóa trong lòng của toán tân từ kinh điển, còn toán học kiến thiết có thể hình thức hóa hoặc trực tiếp trong hệ hình thức của các hàm đệ quy[9] tức là các toán thuật, hoặc trong toán tiên đề kiến thiết.

Ta hãy thử hình thức hóa trong toán tiên đề kiến thiết.

Vấn đề là có thể tiên đề hóa toán học kiến thiết được không? tức là trình bày nó trong một hệ tiên đề ở trình độ thứ ba[10]. Hệ tiên đề đó không thể là toán tân từ kinh điển vì trong việc cắt nghĩa kiến thiết thì trong các công thức chứng minh được, ta có những công thức lại tỏ ra sai về mặt kiến thiết, ví dụ Vx(A)\ \A(2))[11] và như vậy là toàn tân từ kinh điển là không nhất quán đối với thuộc tính của chân lý kiến thiết. Hệ tiên đề đó cũng không phải là toán tân từ kiến thiết tiên đề hóa, vì hệ đó là nhất quán đối với chân lý kiến thiết nhưng nó sẽ không đầy đủ đối với chân lý kiến thiết. Tồn tại những công thức đúng về mặt kiến thiết nhưng lại không hữu hiệu (ví dụ 7 Vx (A (2)V TA (2)), tức là không chứng minh được trong toán tân từ kiến thiết. Hiện nay vấn đề tiên đề hóa toán học kiến thiết như vậy là chưa giải được.

Hãy tìm con đường khác.

Chúng ta hãy thử tìm một thứ toán mà là hình thức hóa trực tiếp của kỹ thuật đệ quy, ví dụ: hệ hình thức của các hàm đệ quy, các toán thuật của Markov, các hàm tinh được của Turing v.v…Vấn đề đặt như vậy rất thú vị nhưng còn gặp nhiều khó khăn[12]. Để ước lượng các khó khăn này một cách không đi vào kỹ thuật như trên, ta có thể nói rất nôm na rằng các nhà toán học kiến thiết không thừa nhận sự tồn tại của cái gì mà không có toán thuật đề xây dựng. Họ không thừa nhận vô điều kiện những điều hiển nhiên đối với toán học kinh điển và đã làm cho toán học kinh điển rất phong phú, như định lý cơ bản của đại số học, định lý Canchy, định lý Rolle, định lý Lagrange. Họ không thừa nhận cả định lý nói rằng một dãy tăng mà có chặn trên là một hội tụ v.v… Họ rất thận trọng đối với phủ định, vì ~7 A thật đáng nghi ngờ về mặt kiến thiết. Do đó, họ không thừa nhận vô điều kiện 77ADA và đặc biệt là họ phủ nhận tertium non datur AVA. Cũng theo phương hướng đó, họ không thừa nhận vô hạn thực tại vì rõ ràng là vô hạn đó không xây dựng được, và họ chỉ thừa nhận vô hạn những sự bứt rứt lương tâm gây ra bởi các tiềm năng[13].

Những yêu cầu của họ là rất hợp lý và rất tự nhiên đối với toán học ở bậc phổ thông, nhưng nếu nghe họ thì toàn bộ toán học kinh điển, một lâu đài đẹp để xây dựng từ mấy ngàn năm nay, sẽ sụp đổ gần hết, chỉ còn đứng trơ số học và đại số, một phần lớn của topo và của lý thuyết hàm số phức, còn toàn bộ giải tích cổ điển thì phải xóa đi, và hình học không còn ý nghĩa độc lập gì đáng kể nữa ! Nhưng mặt khác, toán học kiến thiết lại là một vấn đề hết sức quan trọng của máy tính điện tử, của tự động hóa và của nhiều kỹ thuật hiện đại, vì các phương tiện tối tân đó đều đòi hỏi phải có toán thuật, chúng đều phủ nhận vô hạn thực tại v.v… Cho nên các nhà toán học kiến thiết đang gian khổ xây dựng lại lâu đài toán học mà họ đã đập phá một cách dữ dội[14].

Vấn đề chủ yếu ở đây là xây dựng lại giải tích học, bắt đầu từ số thực. Việc này Turing đã bắt đầu từ năm 1937, nhưng đến Markov (1955) mới giải được tốt. Cũng trong công trình đó, Markov đưa vào khái niệm hàm kiến thiết biến số thực. Gần đây áp dụng phương pháp tương tự với các phương pháp làm đầy đủ các không gian mêtric, phương pháp rất có hiệu lực trong topo và giải tích hàm, nhà toán học Liên Xô, Sanin đã đưa vào toán học kiến thiết những khái niệm giống như các tập đo được, hàm đo được, hàm tổng được, hàm tổng được bậc p (p số nguyên dương), hàm suy rộng vv… (Xem bài của Sanin: Sổ thực kiến thiết và những không gian phiếm hàm kiến thiết tr. 15 – 294, công trình của Viện toán học Steklov LXVII, 1962).

Sở dĩ nói hơi dài với các bạn về toán học kiến thiết là vì quan điểm kiến thiết là quan điểm của toán học ở bậc phổ thông đồng thời là một quan điểm của toán học tương lai. Nhiệm vụ của các bạn là tập cho học sinh suy luận, nên các bạn cần biết khá rõ thế nào là suy luận. Hơn nữa, hiện nay giữa toán học phổ thông và đại học có một sự gián đoạn làm cho học sinh tốt nghiệp phổ thông ý kiến về một số vấn đề mà các đồng chí đã ra sản xuất mà tự học thêm hoặc được tuyển vào đại học, họ vừa thích thú với sức mạnh mới của mình, vừa bỡ ngỡ khi họ từ các quan điểm hữu hạn và kiến thiết của số học và đại số học bước vào số thực và giải tích của năm đầu ở bậc đại học. Về sau, từ tốt nghiệp đại học đến khi ra nghiên cứu toán học họ lại bỡ ngỡ một lần nữa vì họ phải bước từ tình hình êm đẹp của toán học kinh điển và của phương hướng tiên đề hóa sang sự bức rứt lương tâm gây ra bởi các định lý Godel và các sự công kích của các nhà toán học kiến thiết. Chắc rằng sự phát triển tốt của toán học kiến thiết sau này sẽ thực hiện mộng lâu đời của các nhà toán học là thống nhất cái tính toán được và cái chứng minh được, và nhờ đó sẽ làm cho việc dạy toán và học toán từ phổ thông qua đại học đến đời hoạt động của một nhà toán học tương lai có thể liên tục và biến diễn tự nhiên hơn, trừ khi chúng ta lại còn phải gặp những sự bất ngờ khác mà ta chưa thể nói rằng đó là may hay rủi cho việc sáng tạo toán học.

3 – Học sinh cấp III ở tuổi quyết định về mặt đào tạo các nhà toán học tương lai

Việc giảng dạy toán ở phổ thông cấp III có một ý nghĩa quyết định đối với việc đào tạo ra những nhà toán học tương lai. Vì sao ? vì học sinh vào cấp III với lớp tuổi 14 – 15 là tuổi trẻ em có khả năng tiếp thụ bất ngờ về mặt toán học. Đồng thời cũng là tuổi mà năng khiếu toán học bộc lộ ra rõ rệt. Trước tuổi này, giỏi toán không có ý nghĩa gì lắm. Từ đây sẽ phân ra dần dần những em nào có khiếu, những em nào không. Hơn nữa, lịch sử của toán học cho biết các nhà toán học lớn đều tỏ ra hết sức xuất sắc từ 18 – 19 tuổi. Người ta thường đơn cử ví dụ của de Broglie đỗ cử nhân về sử học rồi mới bắt đầu học toán, nhưng các ví dụ đó là hãn hữu, còn nói chung trước hai mươi tuổi họ đã tiếp thụ hầu hết những vấn đề cơ sở và sau đó chỉ còn phát triển thêm lên. Cho nên, thầy giáo cấp III có một trách nhiệm rất lớn và các bạn cần tranh thủ thời gian ba năm mà trẻ em sẽ ở cấp III (14 đến 17 tuổi) mà gây cho em những tác phong tốt bên cạnh những kiến thức thật chắc chắn về toán học.

Phần thứ hai: Một số góp ý về phương pháp giảng dạy

Trên cơ sở phân tích như trên, xin góp ý đề ra.

1 – Vấn đề cơ bản theo tôi là: Thế nào là hiểu và học ở bậc phổ thông cấp III; và tốt nghiệp cấp II, học sinh ra đời hoặc vào đại học đã biết làm gì và biết gì về toán học ? Theo sự phân tích trên đây thì ở bậc phổ thông, toán học không đòi hỏi phải đi vào bản chất của sự vật mà đòi hỏi học sinh tiếp thu vững chắc một số định nghĩa và một số quy tắc. Về vai trò quan trọng của định nghĩa, tôi chỉ xin nhắc lại một lời dặn rất cơ bản của một thầy dạy toán nổi tiếng. Jacques Hadamard: “Phải luôn luôn thay cái bị định nghĩa bởi các định nghĩa”[15]. Ví dụ phần lớn các bài toán không giải được là vì trẻ em quen thay số chẵn (cái bị định nghĩa) bởi 2n (cái định nghĩa) hoặc hình tam giác cần (cái bị định nghĩa) bởi hình tam giác có hai cạnh bằng nhau (cái định nghĩa) v.v… Còn về các quy tắc thì tôi xin phép nhắc rằng, theo tôi, thì “hiểu” trong toán học phổ thông chủ yếu là biết cách tận dụng linh hoạt và vững chắc các quy tắc xây dựng cũng như các quy tắc suy lý mà học sinh đã học được. Không nên nhấn mạnh quá nhiều về lý lẽ, thực chất, hoặc mất thì giờ nêu lên những quan hệ bỏng bẩy giữa dấu và vật (ngữ nghĩa) mà cần làm cho học sinh thấy và nhớ các quan hệ giữa dấu và dấu (ngữ pháp). Còn về hình học thì thấy và nhớ những quan hệ giữa các phần tử của vật đang xây dựng hơn là những quan hệ giữa vật đã sẵn có với ngoại giới và với các vật khác cũng sẵn có. Tôi không phản đối việc đi sâu vào bản chất và nguyên lý, nhưng đó là việc của thầy, những thầy đã có khá nhiều kinh nghiệm về nghiên cứu và giảng dạy, chứ không phải những điều để nói với học sinh.

Do đó, mục tiêu phẫn đấu của chúng ta là làm cho học sinh tốt nghiệp lớp 10 phải biết làm một số việc như biến đổi đại số, giải một số phương trình đại số, tính được một số đạo hàm, vẽ một số đồ thị; còn về mặt hình học cũng phải biết làm một số động tác cần cho các chứng minh và cho việc dựng hình. Biết làm là chủ yếu còn biết nhiều về toán học chỉ là yêu cầu phụ và chúng ta phải làm sao cho học sinh thông qua biết làm mà biết nhiều và biết sâu.

Theo tôi, đó là vấn đề mấu chốt của phương pháp giảng dạy. Do đó, trong việc truyền thụ kiến thức, cần làm cho học sinh hiểu rõ các định nghĩa, nắm vững các quy tắc và tạo điều kiện cho học sinh vận dụng những quy tắc đó. Như vậy phải chăng là học thuộc lòng ? không phải, vì số quy tắc đó rất ít, và căn bản là lặp đi lặp lại nhiều lần, còn các định nghĩa thì theo quan điểm kiến thiết chúng ta xuất phát từ vài phần tử rất đơn sơ và xây dựng dần một cách tự nhiên theo phương pháp tổ hợp lại. Cho nên, học sinh phải thuộc lòng mà không phải dùng nhiều trí nhớ. Trong khi giảng, thầy cần tránh lặp lại những điều đã nói rồi trong bài đang giảng hoặc các bài giảng trước, và để dành việc lặp lại đó vào các bài tập. Thầy cần tránh nói sai đề sau phải cải chính lại, vì cải chính chỉ xóa bỏ cái sai của thầy chứ không xóa được cái sai mà trò đã tiếp thu. Cần hết sức tránh mơ hồ và nhập nhằng vì công dụng của ngữ pháp toán học là để tránh những ánh xạ không đơn trị của vũ trụ thực tế vào ngôn ngữ hàng ngày. Cho nên đưa những khuyết điểm và nhược điềm của ngôn ngữ hàng ngày trở lại vào ngôn ngữ toán học phải được xem là một bước tụt lùi cần được chấm dứt sớm.

2 – Cũng trên tinh thần đó mà ta giải quyết vấn đề cân đối giữa bài giảng và bài tập

Về ý nghĩa quan trọng của bài tập, các bạn đã nói rõ trong các bản báo cáo tôi đã nghe ở hội nghị. Tôi chỉ xin nhắc thêm rằng trong một đại hội các nhà toán học thế giới năm 1900, nhà toán học Hilbert, người được cử ra báo cáo về phương hướng phát triển toán học trong thế kỷ thứ hai mươi, đã làm tốt bản báo cáo quan trọng mà nội dung chủ yếu là danh sách hai mươi ba bài toán đề nghị các nhà toán học tương lai giải quyết. Kinh nghiệm sáu mươi năm vừa qua chứng tỏ rằng các cố gắng để giải hai mươi ba bài đó (phần lớn chưa giải được) đã đóng góp nhiều trong việc thúc đẩy toán học hiện đại phát triển mạnh.

Ở bậc phổ thông, bài tập nên theo sát từng đợt các bài giảng để học sinh nắm vững định nghĩa và quy tắc. Rõ ràng là không cần nhiều bài tập mà cần một số ít nhưng thật tiêu biểu, nhất định phải làm được. Trên cơ sở các bài tiêu biểu đó, khuyến khích học sinh tự làm những bài tập khác tương tự, càng nhiều càng hay, nhưng không nên nhiều quá vì còn phải học các môn khác. Cách sách giáo khoa Liên Xô đã giúp ta thấy tác dụng tốt của từng bài tập ngắn nhằm những mục tiêu nhất định. Nhưng như trên kia đã nói, chúng ta cũng cần từng thời gian ra những bài tập tương đối dài để học sinh tập cho dai sức, khắc phục dần tinh thần ngại khó, thấy toán học là một sự xây dựng phức tạp, cân đối và không kém mỹ thuật, hào hứng.

Trong khi chấm bài không nên chỉ chạy theo những lời giải thần tình để phát hiện thần đồng mà cần kiểm tra chặt chẽ về mặt ngữ pháp toán học đối với tất cả các học sinh. Làm như vậy không những quan tâm đến số đông học sinh, mà còn thể hiện một chân lý: thần đồng toán học là một quá trình xây dựng chứ không phải chỉ là một hiện tượng bẩm sinh.

3 – Xuống tận con số và tính toán gần đúng

Hiện nay ở bậc phổ thông cũng như đại học, nhưng gốc là ở phổ thông, một hiện tượng xấu là học sinh cũng như sinh viên làm bài tập thường chỉ vạch ra phương hướng giải bài toán, và hình như không thèm đi vào tính toán cụ thể để được những con số, và lấy con số so sánh với thực tế. Đây phải xem là một tật xấu cần chữa sớm và chữa tận gốc, bằng cách ra bài tập thích ứng và lúc chấm phải chú ý thích đáng đến ngữ pháp cũng như đến kết quả thành số. Không cần lấy ví dụ đâu xa (như tinh thần các lớp Math speci- ales của Pháp) các học sinh của ta nên biết rằng các đồng chí Nguyễn Hoàng Phương và Nguyễn Văn Hiệu là nhũng nhà toán học chuyên về các hướng lớn trong vật lý lý thuyết, nhưng các đồng chí đó tiến bộ nhanh là vì các đồng chí đó đã phải tự mình làm những tính toán cụ thể rất phức tạp, dài và tinh vi. Riêng đồng chí Hiệu không những phải vạch ra phương hướng mà còn phải tính toán cụ thể đến mức góp phần bớt mò mẫm cho công tác thí nghiệm của các nhà vật lý thực nghiệm ở máy gia tốc của Viện Đupna. Coi thường tính bằng số không những là một phương hướng tách rời thực tế mà còn là một sự tự bịt mắt để không thấy những sự huyền diệu mà con số còn để dành cho sự phát minh về toán học.

Cũng trên tinh thần này phải hết sức coi trọng việc tính gần đúng. Ở đây cần chú ý đến kết quả gần đúng đi từ những dữ kiện gần đúng chứ không nên chỉ đi từ những dữ kiện đúng. Đây là một vấn đề chuẩn bị cho học sinh dễ liên hệ với thực tiễn, và về mặt lý luận dần dần thấy tác dụng lớn lao của mò mẫm trong sáng tạo và phát minh.

Ví dụ các phát minh đặc sắc trong lý thuyết hàm số phức của Cauchy, Weierstrass, Maclaurin, Picard, đều là những sự mò mẫm thần tình xung quanh một trị mà ta chưa có cách đạt được.

Trong thực tiễn sản xuất cũng như trong nghiên cứu khoa học, ít khi ta tính một số từ những số đã biết, mà thường là tính một khoảng số, từ những khoảng số đã biết. Các em phải sớm làm quen với cách đặt vấn đề như vậy.

Liên quan đến vấn đề này là vấn đề nháp nhiều hay nháp ít. Theo tôi, học sinh ta nháp quá nhiều, nháp rất bản và điều tra kỹ vào bản nháp thì thấy rõ ràng đa số học sinh cầm bút là cứ viết liên tục, chứ không để thì giờ suy nghĩ trước khi viết. Chúng ta nên kiên quyết tập cho học sinh từ bé cân nhắc trước khi viết, biết quý sự viết ít mà đúng, làm sao chỉ nháp cũng một lần, và bản nháp đã gần như bản sạch. Sau này tính toán càng ngày càng phức tạp, càng dài, nếu như phải nhập như hiện nay thì suốt đời cũng không đủ thì giờ viết nháp. Viết nháp nhiều chứng tỏ chưa nắm vững quy tắc.

4 – Vấn đề dụng cụ trực quan

Hiện nay các thầy ít chú ý đến việc tự làm hoặc hướng dẫn cho học sinh làm các dụng cụ trực quan. Đó là một khuyết điểm cần khắc phục, nhưng phải thấy đúng tác dụng của dụng cụ trực quan. Có ba tác dụng chủ yếu: Một là giúp những học sinh mà năng lực trừu tượng hóa kém có chỗ dựa để hiểu các định nghĩa và quy tắc. Hai là các học sinh thấy các kiến trúc toán học là đẹp để gây thêm hào hứng về học toán. Ba là giúp học sinh liên hệ với thực tiễn, đi từ ngữ pháp trở về ngữ nghĩa, và đi từ ngữ nghĩa tiến lên ngữ pháp. Tuy nhiên, mục tiêu của chúng ta là nâng cao trình độ trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh, nên chúng ta cần tránh dùng dụng cụ trực quan một khi nó không cần dùng nữa.

5 – Xây dựng từng người

Ở phổ thông, thầy phải theo dõi và xây dựng cho từng học sinh để tránh tình hình bất thường của ta hiện nay là ở phổ thông thì thầy giảng như diễn thuyết, còn ở đại học thì phụ đạo lại khá phổ biến. Để làm việc này, thầy phải tổ chức từng nhóm như đã nói trong bản báo cáo của đồng chí Phi ở Hưng Yên. Một học sinh giỏi cần tham gia hai nhóm, một nhóm học sinh giỏi và một nhóm trong đó học sinh giỏi có nhiệm vụ giúp đỡ các em kém hơn.

6 – Vấn đề liên hệ toán học với thực tiễn

Chúng ta nhận thức rằng thực tiễn là gốc của toán học, tiêu chuẩn chân lý của toán học, đồng thời là mục tiêu của toán học. Nhưng vấn đề không đơn giản lắm. Lịch sử của toán học cho biết rằng quan hệ giữa toán học và sản xuất có 3 dạng điển hình:

a) Trường hợp của hình học Euclid, nó là kết tinh của hàng nghìn năm đạc điền và đo đạc để kiến trúc ở Ai-cập, Trung-quốc và Hy-lạp. Ở đây toán học đi sau sản xuất, và nắm vững những kết quả của toán học sẽ có ứng dụng ngay trong sản xuất.

b) Trường hợp của các phương trình vi phân riêng phần phát triển song song với kỹ thuật, khuôn theo kỹ thuật mà phát triển, đồng thời đẩy mạnh sự phát triển của kỹ thuật.

c) Trường hợp của toán tenxơ và hình học Lobasepski phát triển hàng trăm năm trước khi được ứng dụng vào cơ học và vào tương đối luận của Einstein.

Tóm lại, toán học đối với từng môn và từng thời kỳ có khi đi trước, có khi phát triển song song, có khi lại đi sau sản xuất. Nhưng đó là vấn đề nghiên cứu khoa học, còn vấn đề của chúng ta không phải là tìm phương hướng phát triển toán học, mà là vấn đề dạy học toán cơ sở ở bậc phổ thông, tức là dạy những điều đúc kết kinh nghiệm sản xuất hàng ngàn năm[16], cho nên nắm vững chương trình phổ thông là chắc chắn có tác dụng thực tiễn. Hơn nữa nhiệm vụ của chúng ta không phải chỉ cung cấp cho các ngành sản xuất những người thuộc lòng một số công thức mà là những người biết suy luận chính xác để biết phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề một cách chính xác, thích hợp với yêu cầu công nghiệp hóa xã hội chủ nghĩa.

Do đó, vấn đề chính là ý thức kết hợp với sản xuất của địa phương, tìm những ví dụ tốt, ra những bài tập cho sát, và từng thời kỳ có thể đưa học sinh tham gia những công tác cụ thể đòi hỏi những tính toán đo đạc v.v…ở các hợp tác xã, công trưởng và cả xí nghiệp, nếu thấy có thể giúp ích. Tuy nhiên, không nên hấp tấp gò ép các ví dụ và bài tập chỉ có ý nghĩa sản xuất mà không kiểm soát lại kỹ chúng có mang lại gì cho học sinh về mặt ứng dụng đầy đủ và toàn diện lý luận đã học.

7 – Do đó, vấn đề chính hiện nay, về mặt bảo đảm kiến thức cũng như liên hệ với thực tiễn, không phải là thay đổi chương trình và sách giáo khoa. Mặc dầu mấy năm gần đây trên thế giới đã thảo luận nhiều về việc hiện đại hóa chương trình toán ở phổ thông, nhưng theo tôi thì cần cân nhắc thật kỹ trước khi thêm bớt vào chương trình phổ thông, còn yêu cầu trước mắt đối với thầy giáo của ta là nghiên cứu kỹ và quán triệt chương trình mà Bộ Giáo dục đã đề ra, đồng thời hết sức phát huy tác dụng của sách giáo khoa.

Tuy nhiên, về phía thầy cần phải hiện đại hóa kiến thức của mình, đặc biệt là về lý thuyết tập hợp, về logic toán, và toán hữu hạn, cơ sở của hình học và một ít topo tập hợp cũng như tổ hợp. Nhưng không phải cái gì thầy biết cũng đưa ra nói với trò mà cái chính là một khi thầy thật thấm nhuần các môn cơ sở của toán học hiện đại thì thầy sẽ hiểu rõ hơn ý nghĩa và vị trí của toán học mà mình phụ trách giảng, để chủ động nhìn xa và cải tiến phương pháp của mình và bổ túc cho học sinh giỏi.

8 – Thầy cần đọc gì để dạy tốt hơn ?

Anh Lê Văn Thiêm sẽ nói rõ hơn với các bạn làm thế nào để nâng cao kiến thức. Về mặt cải tiến giảng dạy, tôi đề nghị các bạn chú ý các tài liệu sau đây:

Klein: Toán học sơ cấp theo quan điềm cao cấp.

Hilbert: Cơ sở của hình học.

Polya: Giải một bài toán cách thế nào ?

Toán học và suy luận “nghe được”.

Hilbert và Von Cossen: Hình học vui.

Hugo Steinhaus: 100 bài tập.

Rosa Peter: Trò chơi với cái vô hạn.

Henkin: Về quy nạp toán học

và các tạp chí toán học phổ thông, những tài liệu về lịch sử toán học và tiểu sử các nhà toán học. Riêng đối với bài của Henkin (20 trang) vì là một bài khá cao nhưng lại viết cho các thầy dạy phổ thông, nên tôi sẽ trình bày trong 3 buổi cho các thầy ở Hà Nội.

Kết luận

Thời đại ta là thời đại phát triển của toán học. Nước ta tiến lên xã hội chủ nghĩa không phải qua phát triển tư bản chủ nghĩa càng đòi hỏi mọi người đều biết làm toán, và nhiều người phải giỏi toán. Các bạn không nên lo rằng chúng ta đã thừa toán so với cơ sở vật chất còn non kém của ta, mà các bạn chỉ nên lo rằng số người biết toán và trình độ toán của ta còn thấp chưa đáp ứng được yêu cầu. Như các bạn nhận định rất đúng, vấn đề mấu chốt để nâng cao trình độ toán học ở nước ta là tinh thần trách nhiệm của chúng ta – những người dạy toán. Việc tất cả chúng ta họp ở đây để bàn với nhau làm cho trong việc dạy toán ở phổ thông cấp III có một chuyển biến cách mạng là rất phù hợp với tinh thần của nghị quyết Hội nghị Trung ương lần thứ 8 và đó là một nguồn cổ vũ rất lớn cho chúng ta, một bảo đảm vững chắc cho sự thành công của hội nghị và sự tiến bộ của toán học ở nước ta.

Ủy ban khoa học Nhà nước xem toán học và vật lý học là hai môn cơ sở của khoa học hiện đại đồng thời nhận định rằng các bước đầu có được xây dựng vững vàng ở bậc trung học thì sự phát triển của nền khoa học non trẻ ở nước ta mới được bảo đảm nhanh chóng và có chất lượng cao. Do đó Ủy ban rất coi trọng Hội nghị này, và hôm nay đồng chí Lê Văn Thiêm, trưởng Ban toán lý của Ủy ban và tôi xin nhiệt liệt chào mừng tất cả các bạn đồng nghiệp đã đến đây họp bàn về những vấn đề quan trọng để thực hiện những chỉ thị của Bộ Giáo dục nhằm cải tiến công tác giảng dạy toán lý ở cấp III phổ thông.

Qua các bản báo cáo đã được nghe, chúng tôi rất phấn khởi thấy một mặt sự hướng dẫn của Vụ phổ thông thuộc Bộ Giáo dục là chính xác, mặt khác thì các thầy giáo của chúng ta có nhiều kinh nghiệm quý báu và đã cố gắng đúc kết các kinh nghiệm đó một cách toàn diện và sâu sắc. Về mặt này, chúng tôi chỉ có việc là học tập kinh nghiệm và tinh thần trách nhiệm, cũng như nhiệt tình yêu nghề của các bạn. Sau đây, về phần tôi xin góp một số ý kiến cá nhân để các bạn có thêm tài liệu tham khảo.

Phần thứ nhất: Thử phân tích nội dung, phương pháp suy luận và vị trí của toán học ở phổ thông cấp ba

1– Học sinh tiếp thu khá đầy đủ một ngôn ngữ khó hình thức hóa

Ở cấp I và cấp II, toán chưa và không nên học nhiều, nhưng rất quan trọng. Các em bắt đầu lấy dấu thay vào vật, dấu 2 thay vào hai con bò, hai con trâu, hai ngón tay, hai que đũa v.v… dấu 3 thay vào ba cái nhà, ba quả cam, ba ngón tay, ba que đũa v.v… Các em lại tiếp thụ một số phép trên các dấu đó để từ hai dấu này tìm được một dấu thứ ba theo một quy tắc nhất định. Các dấu là

0, 1, 2, …, 9

và các phép là định nghĩa bởi các quy tắc, quy nạp từ một số thí nghiệm, như phép cộng là định bởi

2+3 = 5

3+4 =7

và phép nhân là định bởi

2.3 = 6

7.9 = 63

……

Trong vài trường hợp thật đơn giản các em lấy một số ngón tay là hai ngón tay, rồi thêm một số ngón tay là ba ngón tay, rồi nghiệm rằng tổng số là năm ngón tay, và như vậy các em thấy các phép mình học là đúng, thấy rằng chân lý của toán học là cái gì không giống thực tế nhưng lại phù hợp với thực tế. Thực ra các em chỉ thí nghiệm vài lần thôi, nhưng như thế cũng đủ để các em tin tưởng, và trong tất cả các trường hợp khác các em chỉ có việc học thuộc lòng bảng cửu chương, tức là một số phép trên một số dấu để được những dấu khác. Ở đây rất ít khi các em nghĩ đến các số (number) và sự thật là chỉ nghĩ đến các dấu – sổ (number sign)[1]. Chúng ta phải thừa nhận rằng, làm như vậy là dĩ nhiên vì thông thường rất ít người hình dung được quá sổ bảy, trừ những trường hợp các người tính nhẩm kỳ dị, như Inaudi, một người chắn cừu mà người ta nói rằng trong đàn cừu hàng ngàn con của anh ta, nếu thiếu một con thì anh ta cảm thấy ngay. Phải nói thêm rằng Inaudi, người có khả năng “thấy”, con số một cách trực quan như vậy, sau khi đã được một nhà toán học mất nhiều công bồi dưỡng anh thì anh ta lại tỏ ra chỉ là một người tính nhanh chứ không phải là một người toán giỏi, và về sau anh ta chỉ đi biểu diễn ở trong các rạp xiếc. Hơn nữa, vấn đề số là gì ? là một vấn đề rất khó, và phải đến đầu thế kỷ thứ XX, Rus- sell và Frege mới đưa ra một câu trả lời tương đổi thỏa mãn, nhưng câu trả lời đó thì lại không những khó hiểu đối với trẻ con mà ngay những người lớn, kể cả các thầy dạy toán như chúng ta, cũng phải để nhiều công mới hiểu tương đối rõ.

Cho nên, toán học đối với trẻ em thường là một thứ ngôn ngữ mới, một mật mã với những dấu và những quy tắc quy định những quan hệ giữa dấu và dấu (quy tắc ngữ pháp – règles syntaxiques) và những quy tắc đề phiên dịch các dấu đó thành ra số (quy tắc ngữ nghĩa règles sémantiques).

Nhìn kỹ thì dấu ở đây có hai mặt: Một là, lúc làm phép ta chỉ áp dụng những quy tắc ngữ pháp, lúc đó dấu không có nghĩa gì cả, dấu: không có nghĩa là ba quả cam, mà cũng không có nghĩa là ba nữa! Làm phép rồi, ta được dấu 5 chẳng hạn, thì lúc đó ta mới áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà được năm quả cam: quy tắc ngữ nghĩa đã đưa ta trở về thực tiễn. Lúc ấy ta mới thấy chân lý, có nghĩa là đúng hay sai. Trước đó, trong khi làm phép thì chân lý chỉ có nghĩa là đúng quy tắc.

Hai là, ở cấp I vì các tính toán còn đơn giản, trẻ em luôn luôn có luật mật mã trong tay đề khi cần thì dở luật ra xem (bấm độn trên ngón tay chẳng hạn) và áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà dịch dấu số thành số. Về sau các tính toán phức tạp hơn và thời gian làm những việc không có nghĩa[2] sẽ kéo dài dần và học sinh làm toán nói chung là áp dụng ngữ pháp, và thầy chấm bài cũng là kiểm tra ngữ pháp. Trong quá trình đó, năng lực trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh được nâng cao dần, và các em càng ngày càng tin tưởng vào sức mạnh mới của mình.

Ở cấp I và cấp II, trẻ em học toán và làm toán cảm thấy mình sáng tạo về hai mặt: một là đứng về trực quan thì thấy rõ mình hành động tự do vì con số dễ vận dụng hơn các vật nhiều. Các em dễ dàng cộng 20.000 với 30.000 đề được 50.000, còn nếu phải xếp hàng hai vạn con bò, rồi thêm ba vạn con bò đề được năm vạn con bò thì rõ ràng là không thể làm được. Các em có cảm tưởng muốn làm gì, với con số nào cũng được. Nhưng mặt khác khi làm việc này các em nhận thấy ngay rằng việc sáng tạo tự do của mình phải đi đôi với một kỷ luật nghiêm khắc trong việc chấp hành các quy tắc đã được vạch ra, nếu không thì sẽ sai, tức là kết quả sẽ không phù hợp với thực tiễn. Sáng tạo trong kỷ luật là một thu hoạch hết sức quan trọng mà môn toán mang lại cho con em chúng ta, một thu hoạch mà các thầy giáo chúng ta, theo tôi, chưa đánh giá đúng mức.

Tuy nhiên, việc sáng tạo của trẻ em diễn ra trong một vũ trụ đặc biệt – vũ trụ các dấu, vũ trụ của cái gián đoạn, của cái tổ hợp (combinatoire)[3]. Cho nên, các thầy cấp I và cấp II nên hoan nghênh việc các em phải giỏi về các bộ môn khác như sử, địa, lý, văn; hoan nghênh việc đọc tiểu thuyết, đọc Phong thần, Tây du, Thủy hử, tức là ham thích sự sáng tạo trong vũ trụ của liên tục, của biến hóa, của không – tỏ – hợp. Làm như vậy chúng ta không những không hạn chế việc phát triển toàn diện của học sinh mà còn mở đường cho sự phát triển toán học sắp tới ở cấp III là toán học của hình học và sổ thực, biến hóa và liên tục.

Cuối cấp II và đầu cấp III, khả năng của học sinh hành động trong vũ trụ dấu, vũ trụ không có nghĩa, vũ trụ của ngữ pháp kéo dài lâu hơn. Từ lớp sáu, học sinh bắt đầu dùng những dấu mới tức là con chữ thay vào đầu sổ. Học sinh bắt đầu làm quen với các biến, tức là các dấu có nhiều trị. Các biến, giống như Tôn Hành Giả, khi là con khỉ, khi là Ngưu Ma Vương, khi là tiểu yêu[4], thần thông biến hóa, làm cho khả năng sáng tạo của học sinh tăng lên nhiều, hành động được tự do hơn, các quy tắc có nhiều sức mạnh hơn và việc vận dụng các quy tắc đó đã có tính chất gần như máy móc; học sinh giải được nhiều bài toán có ý nghĩa phong phú và sâu sắc hơn. Học sinh đã viết được hàng tràng công thức nổi tiếp nhau, không có ý nghĩa nào khác là đúng quy tắc, cho nên học sinh đã thấy hình thành trước mắt mình những trang mật mã của đại số học, những cái sẽ gọi là văn kiện toán học (texte mathématique), và sẽ phải chú ý đến vấn đề nội – văn – bản (contexte). Các em phải chú ý đến nội văn bản để phân biệt tại sao số chữ này lại cho một hằng, chữ kia một thông số và chữ nọ một biến. Chữ x cho một biến vì trị của nó thay đổi trong cả văn bản. Chữ a cho một hằng vị trị của nó không thay đổi trong văn bản, nhưng ngoài văn bản ta có thể tùy ý thay đồi trị của nó. Còn nếu trị của nó là hằng trong từng bộ phận lớn của văn bản thì ta có một thông số, và khi biện luận, tài của học sinh là xác định các bộ phận đó của văn bản[5].

Đến cuối cấp II, một mặt học sinh đã tương đối làm chủ mật mã toán học. Các bài làm có khi kéo dài ba, bổn trang công thức, phần viết bằng tiếng Việt càng ngày càng thu hẹp vào các từ ngữ “do đó”, “cho nên” tức là một số rất nhỏ các từ ngữ thuộc về siêu toán học. Đến cuối bài tập, sau khi kết thúc quá trình ngữ pháp đó bởi một công thức, học sinh mới điền các hằng số đã cho để được một đầu số mà em sẽ dịch ra ngôn ngữ và ý nghĩa hàng ngày. Khi đó em đã ra khỏi vũ trụ dấu và trở về thực tiễn. Mặt khác, các học sinh từ lớp chín đã tiếp thụ khái niệm hàm số, số thực cùng với những quy tắc mới để xây dựng các khái niệm phức tạp hơn và suy luận quanh co và dài hơn. Sức mạnh của các em đã tăng lên nhiều. Sức trừu tượng hóa và hình thức hóa đã đến độ khá cao, và các thầy cần ra những bài toán khá dài và có ý nghĩa thực tiễn đề bồi dưỡng sức suy luận đồng thời đưa các học sinh trở về với đời sống, với sản xuất.

Tóm lại, điều căn bản mà tôi muốn nói với các đồng chí là qua mười năm ở bậc phổ thông, các trẻ em đã đi từ những trò chơi mật mã đơn giản mà tiến dần đến làm chủ một ngôn ngữ toán học phong phú và chặt chẽ, chính xác và uyển chuyển, chứa gần như toàn bộ số học và phần cơ sở của giải tích học.

2 – Học sinh học suy luận theo phương hướng kiến thiết và phương hướng tiên đề

Song song với việc làm chủ ngôn ngữ mới này, học sinh làm quen với công cụ suy luận cơ bản, một số công cụ logic như modus ponens, và quy tắc thay thế, một số công cụ toán học như quy nạp toán học[6]. Nhưng điều tôi muốn nêu lên với các bạn hôm nay là ở bậc phổ thông, đặc biệt là ở cấp III, học sinh đã làm quen với hai phương hướng cơ bản để làm cho toán học thêm chặt chẽ: một là phương hướng tiên đề (axiomatique), hai là phương hướng kiến thiết (constructif)[7]. Phương pháp tiên đề đã phát triển nhiều và được phổ biến khá rộng nên tôi sẽ chỉ nhắc qua một số điểm, chủ yếu là đề đối lập với phương hướng kiến thiết mà tôi muốn trình bày kỹ hơn vì nó là phương hướng của bậc phổ thông, đồng thời là phương hướng tương lại mặc dầu hiện nay nó chưa phát triển tốt lắm. Như các bạn đều biết, chúng ta có ba trình độ tiên đề hóa :

Ở trình độ thứ nhất, ta có sẵn một thuyết toán học đã phát triển. Trong lớp tất cả các định lý của nó ta chọn một số nhỏ, không thừa không thiếu, độc lập với nhau, mà từ đó ta rút ra tất cả các định lý kia, không thừa (nhất quán) không thiếu (đầy đủ). Ở trình độ tiên đề hóa này, ta có một hệ tiên đề có nội dung.

Ở trình độ thứ hai, ta có hệ tiên đề hình thức mà tiêu biểu là hệ tiên đề hình học của Hilbert. Ở đây ta xuất phát từ một số công thức lấy làm tiên đề, rồi bằng những quy tắc hoàn toàn hình thức ta rút ra các công thức khác sao cho các công thức đó là tất cả các công thức hữu hiệu, và hệ tiên đề của ta là nhất quán.

Ở trình độ thứ ba, thuyết của ta trở thành một thuyết tinh toán (calcul). Ta xuất phát từ những dấu nguyên thủy, một số quy tắc xây dựng, một số quy tắc biến đổi sao cho việc suy luận để rút các định lý ra từ các tiên đề là một sự tính toán không được để một sơ hở nào cho trực quan và cho sự nhầm lẫn.

Nhưng đạt đến trình độ tiên đề hóa cao nhất này, Hilbert tìm cách để đánh giá nó, đặc biệt là để chứng minh tính nhất quán của hệ mà ta xây dựng. Nói cách khác, ta cần có một siêu toán học hoàn toàn tin cậy để nói về toán học đã xây dựng. Muốn vậy, siêu toán học này phải là một hệ hết sức thô sơ, xuất phát từ một số rất ít các dấu, ví dụ như 0 và / (gậy) và một số rất ít các quy tắc xây dựng, cùng với một số rất ít các quy tắc suy lý, và việc vận dụng các dấu và các quy tắc đó phải hết sức đơn sơ, minh bạch (Hilbert đòi hỏi phải là hữu hạn), sao cho không có chỗ hở nào để lọt bất cứ sự mơ hồ nào, đơn sơ và sáng sủa gần giống như toán học ở các năm đầu của bậc phổ thông vậy. Một siêu toán học như vậy, theo lời Hilbert, phải có tính chất kiến thiết.

Tóm lại, Hilbert cho rằng phương hướng kiến thiết là để kiểm tra và bảo đảm tính chặt chẽ cho phương hướng tiên đề. Nhưng đối với một số nhà toán học khác bắt đầu từ Kronec- ker, Poincaré, Borel, Lebesgue, Brouwer (1907), Weyl, Skolem, rồi Kolmogorov, Kleene, Good – stein, Markov v.v…thì phương hướng kiến thiết không phải chỉ là một công cụ kiểm tra đối với phương hướng tiên đề mà là phương hướng duy nhất đúng của toán học. Hai phương hướng ấy khác nhau ở chỗ nào ?

Trong toán học tiên đề (viết tắt cho toán học theo phương hướng tiên đề) không có vật đối tượng mà chỉ có một hệ mệnh đề mô tả một cảnh giới đối tượng. Đồng thời ta có một hệ phép trên các mệnh đề. Do đó sự tồn tại của một tập hợp (cảnh giới của đối tượng) không cần trải qua một quá trình xây dựng nào mà chỉ bằng sự phát biểu ra một mệnh đề. Đó là một đặc điểm rất khả nghi của các lý thuyết tiên đề (khuynh hướng của Platon).

Trái lại, trong toán học kiến thiết, ta xuất phát từ các vật, đối tượng có tính chất kiến thiết, thường cho ta bởi những định nghĩa quy nạp, ví dụ định nghĩa các số:

a) 1 là số

b) nếu a là số thì al là số

c) không có cái gì khác là số

Đồng thời ta tự cho những phép trên các vật đó. Một quá trình suy nghĩ là một quá trình thí nghiệm lý trí trên các vật xem là tồn tại cụ thể. Trong toán học kiến thiết, các phép nguyên thủy đều thực hiện được vì rất thô sơ. Ví dụ phép thêm một gậy (/) bên phải. Nhưng làm thế nào để phát biểu về các vật ?

Ta phải xuất phát từ số ít nhất những phát biểu đơn sơ nhất, ví dụ như đối với các dấu nguyên thủy, ta chỉ phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa hai dấu. Từ đó, bằng những nguyên tắc rất thô sơ, ta xây dựng những phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các từ, việc một từ này nằm trong một từ khác và cuối cùng, về khả năng tồn tại một đối tượng với thuộc tính này hay thuộc tính nọ v.v… Các phương tiện logic cho phép được dùng trong toán học kiến thiết là lược đồ để quy (schéma récursif) và phép chứng minh bằng quy nạp toán học. Ví dụ bằng đệ quy, ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau:

a +/ = a/                                              a./ =a

a + b / = (a + b) /                                a. b/= (a.b) + a

Những điều nói trên về toán học kiến thiết cho ta thấy rằng toán học dạy ở phổ thông có rất nhiều điểm thỏa mãn yêu cầu của toán kiến thiết. Về số học và đại số học ở cấp I và cấp II thì rất rõ. Về hình học Euclid, tuy có nhiều tranh cãi chưa kết luận, nhưng theo tôi thì hình học này không phải là một thuyết tiên đề mà là một thuyết mang nhiều tính chất kiến thiết. Hình học này không xuất phát từ những tiên đề hình học, mà những tiên đề logic học như: bộ phận nhỏ hơn toàn thể; hai cái bằng một cái thứ ba là bằng nhau v.v… còn các cơ sở của hình học thì chúng đều đặt trong các định đề.

Về phương pháp thì hình học Euclid là đặc trưng bởi:

1) Các tiên đề logic số học, cũng như các định đề hình học đều khẳng định khả năng thực hiện phép này hay phép nọ.

2) Các định lý chỉ nói về quan hệ giữa các phần tử trong hình đang xây dựng[8].

3) Các đối tượng toán học không xem là tồn tại trước khi chúng được xây dựng. Tuy nhiên, mặc dầu xuất phát điểm đơn sơ và chặt chẽ như vậy nhưng việc tiếp tục phát triển toán học kiến thiết gặp những khó khăn hết sức to lớn. Quả vậy, toán học kiến thiết mà ta vừa xây dựng là một thuyết còn có chứa nội dung. Câu hỏi đặt ra là: có thể hình thức hóa nó được không? và nếu được thì nên làm như thế nào ?

Theo phương hướng tiên đề thì ta hình thức hóa trong lòng của toán tân từ kinh điển, còn toán học kiến thiết có thể hình thức hóa hoặc trực tiếp trong hệ hình thức của các hàm đệ quy[9] tức là các toán thuật, hoặc trong toán tiên đề kiến thiết.

Ta hãy thử hình thức hóa trong toán tiên đề kiến thiết.

Vấn đề là có thể tiên đề hóa toán học kiến thiết được không? tức là trình bày nó trong một hệ tiên đề ở trình độ thứ ba[10]. Hệ tiên đề đó không thể là toán tân từ kinh điển vì trong việc cắt nghĩa kiến thiết thì trong các công thức chứng minh được, ta có những công thức lại tỏ ra sai về mặt kiến thiết, ví dụ Vx(A)\ \A(2))[11] và như vậy là toàn tân từ kinh điển là không nhất quán đối với thuộc tính của chân lý kiến thiết. Hệ tiên đề đó cũng không phải là toán tân từ kiến thiết tiên đề hóa, vì hệ đó là nhất quán đối với chân lý kiến thiết nhưng nó sẽ không đầy đủ đối với chân lý kiến thiết. Tồn tại những công thức đúng về mặt kiến thiết nhưng lại không hữu hiệu (ví dụ 7 Vx (A (2)V TA (2)), tức là không chứng minh được trong toán tân từ kiến thiết. Hiện nay vấn đề tiên đề hóa toán học kiến thiết như vậy là chưa giải được.

Hãy tìm con đường khác.

Chúng ta hãy thử tìm một thứ toán mà là hình thức hóa trực tiếp của kỹ thuật đệ quy, ví dụ: hệ hình thức của các hàm đệ quy, các toán thuật của Markov, các hàm tinh được của Turing v.v…Vấn đề đặt như vậy rất thú vị nhưng còn gặp nhiều khó khăn[12]. Để ước lượng các khó khăn này một cách không đi vào kỹ thuật như trên, ta có thể nói rất nôm na rằng các nhà toán học kiến thiết không thừa nhận sự tồn tại của cái gì mà không có toán thuật đề xây dựng. Họ không thừa nhận vô điều kiện những điều hiển nhiên đối với toán học kinh điển và đã làm cho toán học kinh điển rất phong phú, như định lý cơ bản của đại số học, định lý Canchy, định lý Rolle, định lý Lagrange. Họ không thừa nhận cả định lý nói rằng một dãy tăng mà có chặn trên là một hội tụ v.v… Họ rất thận trọng đối với phủ định, vì ~7 A thật đáng nghi ngờ về mặt kiến thiết. Do đó, họ không thừa nhận vô điều kiện 77ADA và đặc biệt là họ phủ nhận tertium non datur AVA. Cũng theo phương hướng đó, họ không thừa nhận vô hạn thực tại vì rõ ràng là vô hạn đó không xây dựng được, và họ chỉ thừa nhận vô hạn những sự bứt rứt lương tâm gây ra bởi các tiềm năng[13].

Những yêu cầu của họ là rất hợp lý và rất tự nhiên đối với toán học ở bậc phổ thông, nhưng nếu nghe họ thì toàn bộ toán học kinh điển, một lâu đài đẹp để xây dựng từ mấy ngàn năm nay, sẽ sụp đổ gần hết, chỉ còn đứng trơ số học và đại số, một phần lớn của topo và của lý thuyết hàm số phức, còn toàn bộ giải tích cổ điển thì phải xóa đi, và hình học không còn ý nghĩa độc lập gì đáng kể nữa ! Nhưng mặt khác, toán học kiến thiết lại là một vấn đề hết sức quan trọng của máy tính điện tử, của tự động hóa và của nhiều kỹ thuật hiện đại, vì các phương tiện tối tân đó đều đòi hỏi phải có toán thuật, chúng đều phủ nhận vô hạn thực tại v.v… Cho nên các nhà toán học kiến thiết đang gian khổ xây dựng lại lâu đài toán học mà họ đã đập phá một cách dữ dội[14].

Vấn đề chủ yếu ở đây là xây dựng lại giải tích học, bắt đầu từ số thực. Việc này Turing đã bắt đầu từ năm 1937, nhưng đến Markov (1955) mới giải được tốt. Cũng trong công trình đó, Markov đưa vào khái niệm hàm kiến thiết biến số thực. Gần đây áp dụng phương pháp tương tự với các phương pháp làm đầy đủ các không gian mêtric, phương pháp rất có hiệu lực trong topo và giải tích hàm, nhà toán học Liên Xô, Sanin đã đưa vào toán học kiến thiết những khái niệm giống như các tập đo được, hàm đo được, hàm tổng được, hàm tổng được bậc p (p số nguyên dương), hàm suy rộng vv… (Xem bài của Sanin: Sổ thực kiến thiết và những không gian phiếm hàm kiến thiết tr. 15 – 294, công trình của Viện toán học Steklov LXVII, 1962).

Sở dĩ nói hơi dài với các bạn về toán học kiến thiết là vì quan điểm kiến thiết là quan điểm của toán học ở bậc phổ thông đồng thời là một quan điểm của toán học tương lai. Nhiệm vụ của các bạn là tập cho học sinh suy luận, nên các bạn cần biết khá rõ thế nào là suy luận. Hơn nữa, hiện nay giữa toán học phổ thông và đại học có một sự gián đoạn làm cho học sinh tốt nghiệp phổ thông ý kiến về một số vấn đề mà các đồng chí đã ra sản xuất mà tự học thêm hoặc được tuyển vào đại học, họ vừa thích thú với sức mạnh mới của mình, vừa bỡ ngỡ khi họ từ các quan điểm hữu hạn và kiến thiết của số học và đại số học bước vào số thực và giải tích của năm đầu ở bậc đại học. Về sau, từ tốt nghiệp đại học đến khi ra nghiên cứu toán học họ lại bỡ ngỡ một lần nữa vì họ phải bước từ tình hình êm đẹp của toán học kinh điển và của phương hướng tiên đề hóa sang sự bức rứt lương tâm gây ra bởi các định lý Godel và các sự công kích của các nhà toán học kiến thiết. Chắc rằng sự phát triển tốt của toán học kiến thiết sau này sẽ thực hiện mộng lâu đời của các nhà toán học là thống nhất cái tính toán được và cái chứng minh được, và nhờ đó sẽ làm cho việc dạy toán và học toán từ phổ thông qua đại học đến đời hoạt động của một nhà toán học tương lai có thể liên tục và biến diễn tự nhiên hơn, trừ khi chúng ta lại còn phải gặp những sự bất ngờ khác mà ta chưa thể nói rằng đó là may hay rủi cho việc sáng tạo toán học.

3 – Học sinh cấp III ở tuổi quyết định về mặt đào tạo các nhà toán học tương lai

Việc giảng dạy toán ở phổ thông cấp III có một ý nghĩa quyết định đối với việc đào tạo ra những nhà toán học tương lai. Vì sao ? vì học sinh vào cấp III với lớp tuổi 14 – 15 là tuổi trẻ em có khả năng tiếp thụ bất ngờ về mặt toán học. Đồng thời cũng là tuổi mà năng khiếu toán học bộc lộ ra rõ rệt. Trước tuổi này, giỏi toán không có ý nghĩa gì lắm. Từ đây sẽ phân ra dần dần những em nào có khiếu, những em nào không. Hơn nữa, lịch sử của toán học cho biết các nhà toán học lớn đều tỏ ra hết sức xuất sắc từ 18 – 19 tuổi. Người ta thường đơn cử ví dụ của de Broglie đỗ cử nhân về sử học rồi mới bắt đầu học toán, nhưng các ví dụ đó là hãn hữu, còn nói chung trước hai mươi tuổi họ đã tiếp thụ hầu hết những vấn đề cơ sở và sau đó chỉ còn phát triển thêm lên. Cho nên, thầy giáo cấp III có một trách nhiệm rất lớn và các bạn cần tranh thủ thời gian ba năm mà trẻ em sẽ ở cấp III (14 đến 17 tuổi) mà gây cho em những tác phong tốt bên cạnh những kiến thức thật chắc chắn về toán học.

GS Tạ Quang Bửu luôn trăn trở với sự nghiệp giáo dục Việt Nam

Phần thứ hai: Một số góp ý về phương pháp giảng dạy

Trên cơ sở phân tích như trên, xin góp ý đề ra.

1 – Vấn đề cơ bản theo tôi là: Thế nào là hiểu và học ở bậc phổ thông cấp III; và tốt nghiệp cấp II, học sinh ra đời hoặc vào đại học đã biết làm gì và biết gì về toán học ? Theo sự phân tích trên đây thì ở bậc phổ thông, toán học không đòi hỏi phải đi vào bản chất của sự vật mà đòi hỏi học sinh tiếp thu vững chắc một số định nghĩa và một số quy tắc. Về vai trò quan trọng của định nghĩa, tôi chỉ xin nhắc lại một lời dặn rất cơ bản của một thầy dạy toán nổi tiếng. Jacques Hadamard: “Phải luôn luôn thay cái bị định nghĩa bởi các định nghĩa”[15]. Ví dụ phần lớn các bài toán không giải được là vì trẻ em quen thay số chẵn (cái bị định nghĩa) bởi 2n (cái định nghĩa) hoặc hình tam giác cần (cái bị định nghĩa) bởi hình tam giác có hai cạnh bằng nhau (cái định nghĩa) v.v… Còn về các quy tắc thì tôi xin phép nhắc rằng, theo tôi, thì “hiểu” trong toán học phổ thông chủ yếu là biết cách tận dụng linh hoạt và vững chắc các quy tắc xây dựng cũng như các quy tắc suy lý mà học sinh đã học được. Không nên nhấn mạnh quá nhiều về lý lẽ, thực chất, hoặc mất thì giờ nêu lên những quan hệ bỏng bẩy giữa dấu và vật (ngữ nghĩa) mà cần làm cho học sinh thấy và nhớ các quan hệ giữa dấu và dấu (ngữ pháp). Còn về hình học thì thấy và nhớ những quan hệ giữa các phần tử của vật đang xây dựng hơn là những quan hệ giữa vật đã sẵn có với ngoại giới và với các vật khác cũng sẵn có. Tôi không phản đối việc đi sâu vào bản chất và nguyên lý, nhưng đó là việc của thầy, những thầy đã có khá nhiều kinh nghiệm về nghiên cứu và giảng dạy, chứ không phải những điều để nói với học sinh.

Do đó, mục tiêu phẫn đấu của chúng ta là làm cho học sinh tốt nghiệp lớp 10 phải biết làm một số việc như biến đổi đại số, giải một số phương trình đại số, tính được một số đạo hàm, vẽ một số đồ thị; còn về mặt hình học cũng phải biết làm một số động tác cần cho các chứng minh và cho việc dựng hình. Biết làm là chủ yếu còn biết nhiều về toán học chỉ là yêu cầu phụ và chúng ta phải làm sao cho học sinh thông qua biết làm mà biết nhiều và biết sâu.

Theo tôi, đó là vấn đề mấu chốt của phương pháp giảng dạy. Do đó, trong việc truyền thụ kiến thức, cần làm cho học sinh hiểu rõ các định nghĩa, nắm vững các quy tắc và tạo điều kiện cho học sinh vận dụng những quy tắc đó. Như vậy phải chăng là học thuộc lòng ? không phải, vì số quy tắc đó rất ít, và căn bản là lặp đi lặp lại nhiều lần, còn các định nghĩa thì theo quan điểm kiến thiết chúng ta xuất phát từ vài phần tử rất đơn sơ và xây dựng dần một cách tự nhiên theo phương pháp tổ hợp lại. Cho nên, học sinh phải thuộc lòng mà không phải dùng nhiều trí nhớ. Trong khi giảng, thầy cần tránh lặp lại những điều đã nói rồi trong bài đang giảng hoặc các bài giảng trước, và để dành việc lặp lại đó vào các bài tập. Thầy cần tránh nói sai đề sau phải cải chính lại, vì cải chính chỉ xóa bỏ cái sai của thầy chứ không xóa được cái sai mà trò đã tiếp thu. Cần hết sức tránh mơ hồ và nhập nhằng vì công dụng của ngữ pháp toán học là để tránh những ánh xạ không đơn trị của vũ trụ thực tế vào ngôn ngữ hàng ngày. Cho nên đưa những khuyết điểm và nhược điềm của ngôn ngữ hàng ngày trở lại vào ngôn ngữ toán học phải được xem là một bước tụt lùi cần được chấm dứt sớm.

2 – Cũng trên tinh thần đó mà ta giải quyết vấn đề cân đối giữa bài giảng và bài tập

Về ý nghĩa quan trọng của bài tập, các bạn đã nói rõ trong các bản báo cáo tôi đã nghe ở hội nghị. Tôi chỉ xin nhắc thêm rằng trong một đại hội các nhà toán học thế giới năm 1900, nhà toán học Hilbert, người được cử ra báo cáo về phương hướng phát triển toán học trong thế kỷ thứ hai mươi, đã làm tốt bản báo cáo quan trọng mà nội dung chủ yếu là danh sách hai mươi ba bài toán đề nghị các nhà toán học tương lai giải quyết. Kinh nghiệm sáu mươi năm vừa qua chứng tỏ rằng các cố gắng để giải hai mươi ba bài đó (phần lớn chưa giải được) đã đóng góp nhiều trong việc thúc đẩy toán học hiện đại phát triển mạnh.

Ở bậc phổ thông, bài tập nên theo sát từng đợt các bài giảng để học sinh nắm vững định nghĩa và quy tắc. Rõ ràng là không cần nhiều bài tập mà cần một số ít nhưng thật tiêu biểu, nhất định phải làm được. Trên cơ sở các bài tiêu biểu đó, khuyến khích học sinh tự làm những bài tập khác tương tự, càng nhiều càng hay, nhưng không nên nhiều quá vì còn phải học các môn khác. Cách sách giáo khoa Liên Xô đã giúp ta thấy tác dụng tốt của từng bài tập ngắn nhằm những mục tiêu nhất định. Nhưng như trên kia đã nói, chúng ta cũng cần từng thời gian ra những bài tập tương đối dài để học sinh tập cho dai sức, khắc phục dần tinh thần ngại khó, thấy toán học là một sự xây dựng phức tạp, cân đối và không kém mỹ thuật, hào hứng.

Trong khi chấm bài không nên chỉ chạy theo những lời giải thần tình để phát hiện thần đồng mà cần kiểm tra chặt chẽ về mặt ngữ pháp toán học đối với tất cả các học sinh. Làm như vậy không những quan tâm đến số đông học sinh, mà còn thể hiện một chân lý: thần đồng toán học là một quá trình xây dựng chứ không phải chỉ là một hiện tượng bẩm sinh.

3 – Xuống tận con số và tính toán gần đúng

Hiện nay ở bậc phổ thông cũng như đại học, nhưng gốc là ở phổ thông, một hiện tượng xấu là học sinh cũng như sinh viên làm bài tập thường chỉ vạch ra phương hướng giải bài toán, và hình như không thèm đi vào tính toán cụ thể để được những con số, và lấy con số so sánh với thực tế. Đây phải xem là một tật xấu cần chữa sớm và chữa tận gốc, bằng cách ra bài tập thích ứng và lúc chấm phải chú ý thích đáng đến ngữ pháp cũng như đến kết quả thành số. Không cần lấy ví dụ đâu xa (như tinh thần các lớp Math speci- ales của Pháp) các học sinh của ta nên biết rằng các đồng chí Nguyễn Hoàng Phương và Nguyễn Văn Hiệu là nhũng nhà toán học chuyên về các hướng lớn trong vật lý lý thuyết, nhưng các đồng chí đó tiến bộ nhanh là vì các đồng chí đó đã phải tự mình làm những tính toán cụ thể rất phức tạp, dài và tinh vi. Riêng đồng chí Hiệu không những phải vạch ra phương hướng mà còn phải tính toán cụ thể đến mức góp phần bớt mò mẫm cho công tác thí nghiệm của các nhà vật lý thực nghiệm ở máy gia tốc của Viện Đupna. Coi thường tính bằng số không những là một phương hướng tách rời thực tế mà còn là một sự tự bịt mắt để không thấy những sự huyền diệu mà con số còn để dành cho sự phát minh về toán học.

Cũng trên tinh thần này phải hết sức coi trọng việc tính gần đúng. Ở đây cần chú ý đến kết quả gần đúng đi từ những dữ kiện gần đúng chứ không nên chỉ đi từ những dữ kiện đúng. Đây là một vấn đề chuẩn bị cho học sinh dễ liên hệ với thực tiễn, và về mặt lý luận dần dần thấy tác dụng lớn lao của mò mẫm trong sáng tạo và phát minh.

Ví dụ các phát minh đặc sắc trong lý thuyết hàm số phức của Cauchy, Weierstrass, Maclaurin, Picard, đều là những sự mò mẫm thần tình xung quanh một trị mà ta chưa có cách đạt được.

Trong thực tiễn sản xuất cũng như trong nghiên cứu khoa học, ít khi ta tính một số từ những số đã biết, mà thường là tính một khoảng số, từ những khoảng số đã biết. Các em phải sớm làm quen với cách đặt vấn đề như vậy.

Liên quan đến vấn đề này là vấn đề nháp nhiều hay nháp ít. Theo tôi, học sinh ta nháp quá nhiều, nháp rất bản và điều tra kỹ vào bản nháp thì thấy rõ ràng đa số học sinh cầm bút là cứ viết liên tục, chứ không để thì giờ suy nghĩ trước khi viết. Chúng ta nên kiên quyết tập cho học sinh từ bé cân nhắc trước khi viết, biết quý sự viết ít mà đúng, làm sao chỉ nháp cũng một lần, và bản nháp đã gần như bản sạch. Sau này tính toán càng ngày càng phức tạp, càng dài, nếu như phải nhập như hiện nay thì suốt đời cũng không đủ thì giờ viết nháp. Viết nháp nhiều chứng tỏ chưa nắm vững quy tắc.

4 – Vấn đề dụng cụ trực quan

Hiện nay các thầy ít chú ý đến việc tự làm hoặc hướng dẫn cho học sinh làm các dụng cụ trực quan. Đó là một khuyết điểm cần khắc phục, nhưng phải thấy đúng tác dụng của dụng cụ trực quan. Có ba tác dụng chủ yếu: Một là giúp những học sinh mà năng lực trừu tượng hóa kém có chỗ dựa để hiểu các định nghĩa và quy tắc. Hai là các học sinh thấy các kiến trúc toán học là đẹp để gây thêm hào hứng về học toán. Ba là giúp học sinh liên hệ với thực tiễn, đi từ ngữ pháp trở về ngữ nghĩa, và đi từ ngữ nghĩa tiến lên ngữ pháp. Tuy nhiên, mục tiêu của chúng ta là nâng cao trình độ trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh, nên chúng ta cần tránh dùng dụng cụ trực quan một khi nó không cần dùng nữa.

5 – Xây dựng từng người

Ở phổ thông, thầy phải theo dõi và xây dựng cho từng học sinh để tránh tình hình bất thường của ta hiện nay là ở phổ thông thì thầy giảng như diễn thuyết, còn ở đại học thì phụ đạo lại khá phổ biến. Để làm việc này, thầy phải tổ chức từng nhóm như đã nói trong bản báo cáo của đồng chí Phi ở Hưng Yên. Một học sinh giỏi cần tham gia hai nhóm, một nhóm học sinh giỏi và một nhóm trong đó học sinh giỏi có nhiệm vụ giúp đỡ các em kém hơn.

6 – Vấn đề liên hệ toán học với thực tiễn

Chúng ta nhận thức rằng thực tiễn là gốc của toán học, tiêu chuẩn chân lý của toán học, đồng thời là mục tiêu của toán học. Nhưng vấn đề không đơn giản lắm. Lịch sử của toán học cho biết rằng quan hệ giữa toán học và sản xuất có 3 dạng điển hình:

a) Trường hợp của hình học Euclid, nó là kết tinh của hàng nghìn năm đạc điền và đo đạc để kiến trúc ở Ai-cập, Trung-quốc và Hy-lạp. Ở đây toán học đi sau sản xuất, và nắm vững những kết quả của toán học sẽ có ứng dụng ngay trong sản xuất.

b) Trường hợp của các phương trình vi phân riêng phần phát triển song song với kỹ thuật, khuôn theo kỹ thuật mà phát triển, đồng thời đẩy mạnh sự phát triển của kỹ thuật.

c) Trường hợp của toán tenxơ và hình học Lobasepski phát triển hàng trăm năm trước khi được ứng dụng vào cơ học và vào tương đối luận của Einstein.

Tóm lại, toán học đối với từng môn và từng thời kỳ có khi đi trước, có khi phát triển song song, có khi lại đi sau sản xuất. Nhưng đó là vấn đề nghiên cứu khoa học, còn vấn đề của chúng ta không phải là tìm phương hướng phát triển toán học, mà là vấn đề dạy học toán cơ sở ở bậc phổ thông, tức là dạy những điều đúc kết kinh nghiệm sản xuất hàng ngàn năm[16], cho nên nắm vững chương trình phổ thông là chắc chắn có tác dụng thực tiễn. Hơn nữa nhiệm vụ của chúng ta không phải chỉ cung cấp cho các ngành sản xuất những người thuộc lòng một số công thức mà là những người biết suy luận chính xác để biết phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề một cách chính xác, thích hợp với yêu cầu công nghiệp hóa xã hội chủ nghĩa.

Do đó, vấn đề chính là ý thức kết hợp với sản xuất của địa phương, tìm những ví dụ tốt, ra những bài tập cho sát, và từng thời kỳ có thể đưa học sinh tham gia những công tác cụ thể đòi hỏi những tính toán đo đạc v.v…ở các hợp tác xã, công trưởng và cả xí nghiệp, nếu thấy có thể giúp ích. Tuy nhiên, không nên hấp tấp gò ép các ví dụ và bài tập chỉ có ý nghĩa sản xuất mà không kiểm soát lại kỹ chúng có mang lại gì cho học sinh về mặt ứng dụng đầy đủ và toàn diện lý luận đã học.

7 – Do đó, vấn đề chính hiện nay, về mặt bảo đảm kiến thức cũng như liên hệ với thực tiễn, không phải là thay đổi chương trình và sách giáo khoa. Mặc dầu mấy năm gần đây trên thế giới đã thảo luận nhiều về việc hiện đại hóa chương trình toán ở phổ thông, nhưng theo tôi thì cần cân nhắc thật kỹ trước khi thêm bớt vào chương trình phổ thông, còn yêu cầu trước mắt đối với thầy giáo của ta là nghiên cứu kỹ và quán triệt chương trình mà Bộ Giáo dục đã đề ra, đồng thời hết sức phát huy tác dụng của sách giáo khoa.

Tuy nhiên, về phía thầy cần phải hiện đại hóa kiến thức của mình, đặc biệt là về lý thuyết tập hợp, về logic toán, và toán hữu hạn, cơ sở của hình học và một ít topo tập hợp cũng như tổ hợp. Nhưng không phải cái gì thầy biết cũng đưa ra nói với trò mà cái chính là một khi thầy thật thấm nhuần các môn cơ sở của toán học hiện đại thì thầy sẽ hiểu rõ hơn ý nghĩa và vị trí của toán học mà mình phụ trách giảng, để chủ động nhìn xa và cải tiến phương pháp của mình và bổ túc cho học sinh giỏi.

8 – Thầy cần đọc gì để dạy tốt hơn ?

Anh Lê Văn Thiêm sẽ nói rõ hơn với các bạn làm thế nào để nâng cao kiến thức. Về mặt cải tiến giảng dạy, tôi đề nghị các bạn chú ý các tài liệu sau đây:

Klein: Toán học sơ cấp theo quan điềm cao cấp.

Hilbert: Cơ sở của hình học.

Polya: Giải một bài toán cách thế nào ?

Toán học và suy luận “nghe được”.

Hilbert và Von Cossen: Hình học vui.

Hugo Steinhaus: 100 bài tập.

Rosa Peter: Trò chơi với cái vô hạn.

Henkin: Về quy nạp toán học

và các tạp chí toán học phổ thông, những tài liệu về lịch sử toán học và tiểu sử các nhà toán học. Riêng đối với bài của Henkin (20 trang) vì là một bài khá cao nhưng lại viết cho các thầy dạy phổ thông, nên tôi sẽ trình bày trong 3 buổi cho các thầy ở Hà Nội.

Kết luận

Thời đại ta là thời đại phát triển của toán học. Nước ta tiến lên xã hội chủ nghĩa không phải qua phát triển tư bản chủ nghĩa càng đòi hỏi mọi người đều biết làm toán, và nhiều người phải giỏi toán. Các bạn không nên lo rằng chúng ta đã thừa toán so với cơ sở vật chất còn non kém của ta, mà các bạn chỉ nên lo rằng số người biết toán và trình độ toán của ta còn thấp chưa đáp ứng được yêu cầu. Như các bạn nhận định rất đúng, vấn đề mấu chốt để nâng cao trình độ toán học ở nước ta là tinh thần trách nhiệm của chúng ta – những người dạy toán. Việc tất cả chúng ta họp ở đây để bàn với nhau làm cho trong việc dạy toán ở phổ thông cấp III có một chuyển biến cách mạng là rất phù hợp với tinh thần của nghị quyết Hội nghị Trung ương lần thứ 8 và đó là một nguồn cổ vũ rất lớn cho chúng ta, một bảo đảm vững chắc cho sự thành công của hội nghị và sự tiến bộ của toán học ở nước ta.

Ủy ban khoa học Nhà nước xem toán học và vật lý học là hai môn cơ sở của khoa học hiện đại đồng thời nhận định rằng các bước đầu có được xây dựng vững vàng ở bậc trung học thì sự phát triển của nền khoa học non trẻ ở nước ta mới được bảo đảm nhanh chóng và có chất lượng cao. Do đó Ủy ban rất coi trọng Hội nghị này, và hôm nay đồng chí Lê Văn Thiêm, trưởng Ban toán lý của Ủy ban và tôi xin nhiệt liệt chào mừng tất cả các bạn đồng nghiệp đã đến đây họp bàn về những vấn đề quan trọng để thực hiện những chỉ thị của Bộ Giáo dục nhằm cải tiến công tác giảng dạy toán lý ở cấp III phổ thông.

Qua các bản báo cáo đã được nghe, chúng tôi rất phấn khởi thấy một mặt sự hướng dẫn của Vụ phổ thông thuộc Bộ Giáo dục là chính xác, mặt khác thì các thầy giáo của chúng ta có nhiều kinh nghiệm quý báu và đã cố gắng đúc kết các kinh nghiệm đó một cách toàn diện và sâu sắc. Về mặt này, chúng tôi chỉ có việc là học tập kinh nghiệm và tinh thần trách nhiệm, cũng như nhiệt tình yêu nghề của các bạn. Sau đây, về phần tôi xin góp một số ý kiến cá nhân để các bạn có thêm tài liệu tham khảo.

Phần thứ nhất: Thử phân tích nội dung, phương pháp suy luận và vị trí của toán học ở phổ thông cấp ba

1– Học sinh tiếp thu khá đầy đủ một ngôn ngữ khó hình thức hóa

Ở cấp I và cấp II, toán chưa và không nên học nhiều, nhưng rất quan trọng. Các em bắt đầu lấy dấu thay vào vật, dấu 2 thay vào hai con bò, hai con trâu, hai ngón tay, hai que đũa v.v… dấu 3 thay vào ba cái nhà, ba quả cam, ba ngón tay, ba que đũa v.v… Các em lại tiếp thụ một số phép trên các dấu đó để từ hai dấu này tìm được một dấu thứ ba theo một quy tắc nhất định. Các dấu là

0, 1, 2, …, 9

và các phép là định nghĩa bởi các quy tắc, quy nạp từ một số thí nghiệm, như phép cộng là định bởi

2+3 = 5

3+4 =7

và phép nhân là định bởi

2.3 = 6

7.9 = 63

……

Trong vài trường hợp thật đơn giản các em lấy một số ngón tay là hai ngón tay, rồi thêm một số ngón tay là ba ngón tay, rồi nghiệm rằng tổng số là năm ngón tay, và như vậy các em thấy các phép mình học là đúng, thấy rằng chân lý của toán học là cái gì không giống thực tế nhưng lại phù hợp với thực tế. Thực ra các em chỉ thí nghiệm vài lần thôi, nhưng như thế cũng đủ để các em tin tưởng, và trong tất cả các trường hợp khác các em chỉ có việc học thuộc lòng bảng cửu chương, tức là một số phép trên một số dấu để được những dấu khác. Ở đây rất ít khi các em nghĩ đến các số (number) và sự thật là chỉ nghĩ đến các dấu – sổ (number sign)[1]. Chúng ta phải thừa nhận rằng, làm như vậy là dĩ nhiên vì thông thường rất ít người hình dung được quá sổ bảy, trừ những trường hợp các người tính nhẩm kỳ dị, như Inaudi, một người chắn cừu mà người ta nói rằng trong đàn cừu hàng ngàn con của anh ta, nếu thiếu một con thì anh ta cảm thấy ngay. Phải nói thêm rằng Inaudi, người có khả năng “thấy”, con số một cách trực quan như vậy, sau khi đã được một nhà toán học mất nhiều công bồi dưỡng anh thì anh ta lại tỏ ra chỉ là một người tính nhanh chứ không phải là một người toán giỏi, và về sau anh ta chỉ đi biểu diễn ở trong các rạp xiếc. Hơn nữa, vấn đề số là gì ? là một vấn đề rất khó, và phải đến đầu thế kỷ thứ XX, Rus- sell và Frege mới đưa ra một câu trả lời tương đổi thỏa mãn, nhưng câu trả lời đó thì lại không những khó hiểu đối với trẻ con mà ngay những người lớn, kể cả các thầy dạy toán như chúng ta, cũng phải để nhiều công mới hiểu tương đối rõ.

Cho nên, toán học đối với trẻ em thường là một thứ ngôn ngữ mới, một mật mã với những dấu và những quy tắc quy định những quan hệ giữa dấu và dấu (quy tắc ngữ pháp – règles syntaxiques) và những quy tắc đề phiên dịch các dấu đó thành ra số (quy tắc ngữ nghĩa règles sémantiques).

Nhìn kỹ thì dấu ở đây có hai mặt: Một là, lúc làm phép ta chỉ áp dụng những quy tắc ngữ pháp, lúc đó dấu không có nghĩa gì cả, dấu: không có nghĩa là ba quả cam, mà cũng không có nghĩa là ba nữa! Làm phép rồi, ta được dấu 5 chẳng hạn, thì lúc đó ta mới áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà được năm quả cam: quy tắc ngữ nghĩa đã đưa ta trở về thực tiễn. Lúc ấy ta mới thấy chân lý, có nghĩa là đúng hay sai. Trước đó, trong khi làm phép thì chân lý chỉ có nghĩa là đúng quy tắc.

Hai là, ở cấp I vì các tính toán còn đơn giản, trẻ em luôn luôn có luật mật mã trong tay đề khi cần thì dở luật ra xem (bấm độn trên ngón tay chẳng hạn) và áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà dịch dấu số thành số. Về sau các tính toán phức tạp hơn và thời gian làm những việc không có nghĩa[2] sẽ kéo dài dần và học sinh làm toán nói chung là áp dụng ngữ pháp, và thầy chấm bài cũng là kiểm tra ngữ pháp. Trong quá trình đó, năng lực trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh được nâng cao dần, và các em càng ngày càng tin tưởng vào sức mạnh mới của mình.

Ở cấp I và cấp II, trẻ em học toán và làm toán cảm thấy mình sáng tạo về hai mặt: một là đứng về trực quan thì thấy rõ mình hành động tự do vì con số dễ vận dụng hơn các vật nhiều. Các em dễ dàng cộng 20.000 với 30.000 đề được 50.000, còn nếu phải xếp hàng hai vạn con bò, rồi thêm ba vạn con bò đề được năm vạn con bò thì rõ ràng là không thể làm được. Các em có cảm tưởng muốn làm gì, với con số nào cũng được. Nhưng mặt khác khi làm việc này các em nhận thấy ngay rằng việc sáng tạo tự do của mình phải đi đôi với một kỷ luật nghiêm khắc trong việc chấp hành các quy tắc đã được vạch ra, nếu không thì sẽ sai, tức là kết quả sẽ không phù hợp với thực tiễn. Sáng tạo trong kỷ luật là một thu hoạch hết sức quan trọng mà môn toán mang lại cho con em chúng ta, một thu hoạch mà các thầy giáo chúng ta, theo tôi, chưa đánh giá đúng mức.

Tuy nhiên, việc sáng tạo của trẻ em diễn ra trong một vũ trụ đặc biệt – vũ trụ các dấu, vũ trụ của cái gián đoạn, của cái tổ hợp (combinatoire)[3]. Cho nên, các thầy cấp I và cấp II nên hoan nghênh việc các em phải giỏi về các bộ môn khác như sử, địa, lý, văn; hoan nghênh việc đọc tiểu thuyết, đọc Phong thần, Tây du, Thủy hử, tức là ham thích sự sáng tạo trong vũ trụ của liên tục, của biến hóa, của không – tỏ – hợp. Làm như vậy chúng ta không những không hạn chế việc phát triển toàn diện của học sinh mà còn mở đường cho sự phát triển toán học sắp tới ở cấp III là toán học của hình học và sổ thực, biến hóa và liên tục.

Cuối cấp II và đầu cấp III, khả năng của học sinh hành động trong vũ trụ dấu, vũ trụ không có nghĩa, vũ trụ của ngữ pháp kéo dài lâu hơn. Từ lớp sáu, học sinh bắt đầu dùng những dấu mới tức là con chữ thay vào đầu sổ. Học sinh bắt đầu làm quen với các biến, tức là các dấu có nhiều trị. Các biến, giống như Tôn Hành Giả, khi là con khỉ, khi là Ngưu Ma Vương, khi là tiểu yêu[4], thần thông biến hóa, làm cho khả năng sáng tạo của học sinh tăng lên nhiều, hành động được tự do hơn, các quy tắc có nhiều sức mạnh hơn và việc vận dụng các quy tắc đó đã có tính chất gần như máy móc; học sinh giải được nhiều bài toán có ý nghĩa phong phú và sâu sắc hơn. Học sinh đã viết được hàng tràng công thức nổi tiếp nhau, không có ý nghĩa nào khác là đúng quy tắc, cho nên học sinh đã thấy hình thành trước mắt mình những trang mật mã của đại số học, những cái sẽ gọi là văn kiện toán học (texte mathématique), và sẽ phải chú ý đến vấn đề nội – văn – bản (contexte). Các em phải chú ý đến nội văn bản để phân biệt tại sao số chữ này lại cho một hằng, chữ kia một thông số và chữ nọ một biến. Chữ x cho một biến vì trị của nó thay đổi trong cả văn bản. Chữ a cho một hằng vị trị của nó không thay đổi trong văn bản, nhưng ngoài văn bản ta có thể tùy ý thay đồi trị của nó. Còn nếu trị của nó là hằng trong từng bộ phận lớn của văn bản thì ta có một thông số, và khi biện luận, tài của học sinh là xác định các bộ phận đó của văn bản[5].

Đến cuối cấp II, một mặt học sinh đã tương đối làm chủ mật mã toán học. Các bài làm có khi kéo dài ba, bổn trang công thức, phần viết bằng tiếng Việt càng ngày càng thu hẹp vào các từ ngữ “do đó”, “cho nên” tức là một số rất nhỏ các từ ngữ thuộc về siêu toán học. Đến cuối bài tập, sau khi kết thúc quá trình ngữ pháp đó bởi một công thức, học sinh mới điền các hằng số đã cho để được một đầu số mà em sẽ dịch ra ngôn ngữ và ý nghĩa hàng ngày. Khi đó em đã ra khỏi vũ trụ dấu và trở về thực tiễn. Mặt khác, các học sinh từ lớp chín đã tiếp thụ khái niệm hàm số, số thực cùng với những quy tắc mới để xây dựng các khái niệm phức tạp hơn và suy luận quanh co và dài hơn. Sức mạnh của các em đã tăng lên nhiều. Sức trừu tượng hóa và hình thức hóa đã đến độ khá cao, và các thầy cần ra những bài toán khá dài và có ý nghĩa thực tiễn đề bồi dưỡng sức suy luận đồng thời đưa các học sinh trở về với đời sống, với sản xuất.

Tóm lại, điều căn bản mà tôi muốn nói với các đồng chí là qua mười năm ở bậc phổ thông, các trẻ em đã đi từ những trò chơi mật mã đơn giản mà tiến dần đến làm chủ một ngôn ngữ toán học phong phú và chặt chẽ, chính xác và uyển chuyển, chứa gần như toàn bộ số học và phần cơ sở của giải tích học.

2 – Học sinh học suy luận theo phương hướng kiến thiết và phương hướng tiên đề

Song song với việc làm chủ ngôn ngữ mới này, học sinh làm quen với công cụ suy luận cơ bản, một số công cụ logic như modus ponens, và quy tắc thay thế, một số công cụ toán học như quy nạp toán học[6]. Nhưng điều tôi muốn nêu lên với các bạn hôm nay là ở bậc phổ thông, đặc biệt là ở cấp III, học sinh đã làm quen với hai phương hướng cơ bản để làm cho toán học thêm chặt chẽ: một là phương hướng tiên đề (axiomatique), hai là phương hướng kiến thiết (constructif)[7]. Phương pháp tiên đề đã phát triển nhiều và được phổ biến khá rộng nên tôi sẽ chỉ nhắc qua một số điểm, chủ yếu là đề đối lập với phương hướng kiến thiết mà tôi muốn trình bày kỹ hơn vì nó là phương hướng của bậc phổ thông, đồng thời là phương hướng tương lại mặc dầu hiện nay nó chưa phát triển tốt lắm. Như các bạn đều biết, chúng ta có ba trình độ tiên đề hóa :

Ở trình độ thứ nhất, ta có sẵn một thuyết toán học đã phát triển. Trong lớp tất cả các định lý của nó ta chọn một số nhỏ, không thừa không thiếu, độc lập với nhau, mà từ đó ta rút ra tất cả các định lý kia, không thừa (nhất quán) không thiếu (đầy đủ). Ở trình độ tiên đề hóa này, ta có một hệ tiên đề có nội dung.

Ở trình độ thứ hai, ta có hệ tiên đề hình thức mà tiêu biểu là hệ tiên đề hình học của Hilbert. Ở đây ta xuất phát từ một số công thức lấy làm tiên đề, rồi bằng những quy tắc hoàn toàn hình thức ta rút ra các công thức khác sao cho các công thức đó là tất cả các công thức hữu hiệu, và hệ tiên đề của ta là nhất quán.

Ở trình độ thứ ba, thuyết của ta trở thành một thuyết tinh toán (calcul). Ta xuất phát từ những dấu nguyên thủy, một số quy tắc xây dựng, một số quy tắc biến đổi sao cho việc suy luận để rút các định lý ra từ các tiên đề là một sự tính toán không được để một sơ hở nào cho trực quan và cho sự nhầm lẫn.

Nhưng đạt đến trình độ tiên đề hóa cao nhất này, Hilbert tìm cách để đánh giá nó, đặc biệt là để chứng minh tính nhất quán của hệ mà ta xây dựng. Nói cách khác, ta cần có một siêu toán học hoàn toàn tin cậy để nói về toán học đã xây dựng. Muốn vậy, siêu toán học này phải là một hệ hết sức thô sơ, xuất phát từ một số rất ít các dấu, ví dụ như 0 và / (gậy) và một số rất ít các quy tắc xây dựng, cùng với một số rất ít các quy tắc suy lý, và việc vận dụng các dấu và các quy tắc đó phải hết sức đơn sơ, minh bạch (Hilbert đòi hỏi phải là hữu hạn), sao cho không có chỗ hở nào để lọt bất cứ sự mơ hồ nào, đơn sơ và sáng sủa gần giống như toán học ở các năm đầu của bậc phổ thông vậy. Một siêu toán học như vậy, theo lời Hilbert, phải có tính chất kiến thiết.

Tóm lại, Hilbert cho rằng phương hướng kiến thiết là để kiểm tra và bảo đảm tính chặt chẽ cho phương hướng tiên đề. Nhưng đối với một số nhà toán học khác bắt đầu từ Kronec- ker, Poincaré, Borel, Lebesgue, Brouwer (1907), Weyl, Skolem, rồi Kolmogorov, Kleene, Good – stein, Markov v.v…thì phương hướng kiến thiết không phải chỉ là một công cụ kiểm tra đối với phương hướng tiên đề mà là phương hướng duy nhất đúng của toán học. Hai phương hướng ấy khác nhau ở chỗ nào ?

Trong toán học tiên đề (viết tắt cho toán học theo phương hướng tiên đề) không có vật đối tượng mà chỉ có một hệ mệnh đề mô tả một cảnh giới đối tượng. Đồng thời ta có một hệ phép trên các mệnh đề. Do đó sự tồn tại của một tập hợp (cảnh giới của đối tượng) không cần trải qua một quá trình xây dựng nào mà chỉ bằng sự phát biểu ra một mệnh đề. Đó là một đặc điểm rất khả nghi của các lý thuyết tiên đề (khuynh hướng của Platon).

Trái lại, trong toán học kiến thiết, ta xuất phát từ các vật, đối tượng có tính chất kiến thiết, thường cho ta bởi những định nghĩa quy nạp, ví dụ định nghĩa các số:

a) 1 là số

b) nếu a là số thì al là số

c) không có cái gì khác là số

Đồng thời ta tự cho những phép trên các vật đó. Một quá trình suy nghĩ là một quá trình thí nghiệm lý trí trên các vật xem là tồn tại cụ thể. Trong toán học kiến thiết, các phép nguyên thủy đều thực hiện được vì rất thô sơ. Ví dụ phép thêm một gậy (/) bên phải. Nhưng làm thế nào để phát biểu về các vật ?

Ta phải xuất phát từ số ít nhất những phát biểu đơn sơ nhất, ví dụ như đối với các dấu nguyên thủy, ta chỉ phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa hai dấu. Từ đó, bằng những nguyên tắc rất thô sơ, ta xây dựng những phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các từ, việc một từ này nằm trong một từ khác và cuối cùng, về khả năng tồn tại một đối tượng với thuộc tính này hay thuộc tính nọ v.v… Các phương tiện logic cho phép được dùng trong toán học kiến thiết là lược đồ để quy (schéma récursif) và phép chứng minh bằng quy nạp toán học. Ví dụ bằng đệ quy, ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau:

a +/ = a/                                              a./ =a

a + b / = (a + b) /                                a. b/= (a.b) + a

Những điều nói trên về toán học kiến thiết cho ta thấy rằng toán học dạy ở phổ thông có rất nhiều điểm thỏa mãn yêu cầu của toán kiến thiết. Về số học và đại số học ở cấp I và cấp II thì rất rõ. Về hình học Euclid, tuy có nhiều tranh cãi chưa kết luận, nhưng theo tôi thì hình học này không phải là một thuyết tiên đề mà là một thuyết mang nhiều tính chất kiến thiết. Hình học này không xuất phát từ những tiên đề hình học, mà những tiên đề logic học như: bộ phận nhỏ hơn toàn thể; hai cái bằng một cái thứ ba là bằng nhau v.v… còn các cơ sở của hình học thì chúng đều đặt trong các định đề.

Về phương pháp thì hình học Euclid là đặc trưng bởi:

1) Các tiên đề logic số học, cũng như các định đề hình học đều khẳng định khả năng thực hiện phép này hay phép nọ.

2) Các định lý chỉ nói về quan hệ giữa các phần tử trong hình đang xây dựng[8].

3) Các đối tượng toán học không xem là tồn tại trước khi chúng được xây dựng. Tuy nhiên, mặc dầu xuất phát điểm đơn sơ và chặt chẽ như vậy nhưng việc tiếp tục phát triển toán học kiến thiết gặp những khó khăn hết sức to lớn. Quả vậy, toán học kiến thiết mà ta vừa xây dựng là một thuyết còn có chứa nội dung. Câu hỏi đặt ra là: có thể hình thức hóa nó được không? và nếu được thì nên làm như thế nào ?

Theo phương hướng tiên đề thì ta hình thức hóa trong lòng của toán tân từ kinh điển, còn toán học kiến thiết có thể hình thức hóa hoặc trực tiếp trong hệ hình thức của các hàm đệ quy[9] tức là các toán thuật, hoặc trong toán tiên đề kiến thiết.

Ta hãy thử hình thức hóa trong toán tiên đề kiến thiết.

Vấn đề là có thể tiên đề hóa toán học kiến thiết được không? tức là trình bày nó trong một hệ tiên đề ở trình độ thứ ba[10]. Hệ tiên đề đó không thể là toán tân từ kinh điển vì trong việc cắt nghĩa kiến thiết thì trong các công thức chứng minh được, ta có những công thức lại tỏ ra sai về mặt kiến thiết, ví dụ Vx(A)\ \A(2))[11] và như vậy là toàn tân từ kinh điển là không nhất quán đối với thuộc tính của chân lý kiến thiết. Hệ tiên đề đó cũng không phải là toán tân từ kiến thiết tiên đề hóa, vì hệ đó là nhất quán đối với chân lý kiến thiết nhưng nó sẽ không đầy đủ đối với chân lý kiến thiết. Tồn tại những công thức đúng về mặt kiến thiết nhưng lại không hữu hiệu (ví dụ 7 Vx (A (2)V TA (2)), tức là không chứng minh được trong toán tân từ kiến thiết. Hiện nay vấn đề tiên đề hóa toán học kiến thiết như vậy là chưa giải được.

Hãy tìm con đường khác.

Chúng ta hãy thử tìm một thứ toán mà là hình thức hóa trực tiếp của kỹ thuật đệ quy, ví dụ: hệ hình thức của các hàm đệ quy, các toán thuật của Markov, các hàm tinh được của Turing v.v…Vấn đề đặt như vậy rất thú vị nhưng còn gặp nhiều khó khăn[12]. Để ước lượng các khó khăn này một cách không đi vào kỹ thuật như trên, ta có thể nói rất nôm na rằng các nhà toán học kiến thiết không thừa nhận sự tồn tại của cái gì mà không có toán thuật đề xây dựng. Họ không thừa nhận vô điều kiện những điều hiển nhiên đối với toán học kinh điển và đã làm cho toán học kinh điển rất phong phú, như định lý cơ bản của đại số học, định lý Canchy, định lý Rolle, định lý Lagrange. Họ không thừa nhận cả định lý nói rằng một dãy tăng mà có chặn trên là một hội tụ v.v… Họ rất thận trọng đối với phủ định, vì ~7 A thật đáng nghi ngờ về mặt kiến thiết. Do đó, họ không thừa nhận vô điều kiện 77ADA và đặc biệt là họ phủ nhận tertium non datur AVA. Cũng theo phương hướng đó, họ không thừa nhận vô hạn thực tại vì rõ ràng là vô hạn đó không xây dựng được, và họ chỉ thừa nhận vô hạn những sự bứt rứt lương tâm gây ra bởi các tiềm năng[13].

Những yêu cầu của họ là rất hợp lý và rất tự nhiên đối với toán học ở bậc phổ thông, nhưng nếu nghe họ thì toàn bộ toán học kinh điển, một lâu đài đẹp để xây dựng từ mấy ngàn năm nay, sẽ sụp đổ gần hết, chỉ còn đứng trơ số học và đại số, một phần lớn của topo và của lý thuyết hàm số phức, còn toàn bộ giải tích cổ điển thì phải xóa đi, và hình học không còn ý nghĩa độc lập gì đáng kể nữa ! Nhưng mặt khác, toán học kiến thiết lại là một vấn đề hết sức quan trọng của máy tính điện tử, của tự động hóa và của nhiều kỹ thuật hiện đại, vì các phương tiện tối tân đó đều đòi hỏi phải có toán thuật, chúng đều phủ nhận vô hạn thực tại v.v… Cho nên các nhà toán học kiến thiết đang gian khổ xây dựng lại lâu đài toán học mà họ đã đập phá một cách dữ dội[14].

Vấn đề chủ yếu ở đây là xây dựng lại giải tích học, bắt đầu từ số thực. Việc này Turing đã bắt đầu từ năm 1937, nhưng đến Markov (1955) mới giải được tốt. Cũng trong công trình đó, Markov đưa vào khái niệm hàm kiến thiết biến số thực. Gần đây áp dụng phương pháp tương tự với các phương pháp làm đầy đủ các không gian mêtric, phương pháp rất có hiệu lực trong topo và giải tích hàm, nhà toán học Liên Xô, Sanin đã đưa vào toán học kiến thiết những khái niệm giống như các tập đo được, hàm đo được, hàm tổng được, hàm tổng được bậc p (p số nguyên dương), hàm suy rộng vv… (Xem bài của Sanin: Sổ thực kiến thiết và những không gian phiếm hàm kiến thiết tr. 15 – 294, công trình của Viện toán học Steklov LXVII, 1962).

Sở dĩ nói hơi dài với các bạn về toán học kiến thiết là vì quan điểm kiến thiết là quan điểm của toán học ở bậc phổ thông đồng thời là một quan điểm của toán học tương lai. Nhiệm vụ của các bạn là tập cho học sinh suy luận, nên các bạn cần biết khá rõ thế nào là suy luận. Hơn nữa, hiện nay giữa toán học phổ thông và đại học có một sự gián đoạn làm cho học sinh tốt nghiệp phổ thông ý kiến về một số vấn đề mà các đồng chí đã ra sản xuất mà tự học thêm hoặc được tuyển vào đại học, họ vừa thích thú với sức mạnh mới của mình, vừa bỡ ngỡ khi họ từ các quan điểm hữu hạn và kiến thiết của số học và đại số học bước vào số thực và giải tích của năm đầu ở bậc đại học. Về sau, từ tốt nghiệp đại học đến khi ra nghiên cứu toán học họ lại bỡ ngỡ một lần nữa vì họ phải bước từ tình hình êm đẹp của toán học kinh điển và của phương hướng tiên đề hóa sang sự bức rứt lương tâm gây ra bởi các định lý Godel và các sự công kích của các nhà toán học kiến thiết. Chắc rằng sự phát triển tốt của toán học kiến thiết sau này sẽ thực hiện mộng lâu đời của các nhà toán học là thống nhất cái tính toán được và cái chứng minh được, và nhờ đó sẽ làm cho việc dạy toán và học toán từ phổ thông qua đại học đến đời hoạt động của một nhà toán học tương lai có thể liên tục và biến diễn tự nhiên hơn, trừ khi chúng ta lại còn phải gặp những sự bất ngờ khác mà ta chưa thể nói rằng đó là may hay rủi cho việc sáng tạo toán học.

3 – Học sinh cấp III ở tuổi quyết định về mặt đào tạo các nhà toán học tương lai

Việc giảng dạy toán ở phổ thông cấp III có một ý nghĩa quyết định đối với việc đào tạo ra những nhà toán học tương lai. Vì sao ? vì học sinh vào cấp III với lớp tuổi 14 – 15 là tuổi trẻ em có khả năng tiếp thụ bất ngờ về mặt toán học. Đồng thời cũng là tuổi mà năng khiếu toán học bộc lộ ra rõ rệt. Trước tuổi này, giỏi toán không có ý nghĩa gì lắm. Từ đây sẽ phân ra dần dần những em nào có khiếu, những em nào không. Hơn nữa, lịch sử của toán học cho biết các nhà toán học lớn đều tỏ ra hết sức xuất sắc từ 18 – 19 tuổi. Người ta thường đơn cử ví dụ của de Broglie đỗ cử nhân về sử học rồi mới bắt đầu học toán, nhưng các ví dụ đó là hãn hữu, còn nói chung trước hai mươi tuổi họ đã tiếp thụ hầu hết những vấn đề cơ sở và sau đó chỉ còn phát triển thêm lên. Cho nên, thầy giáo cấp III có một trách nhiệm rất lớn và các bạn cần tranh thủ thời gian ba năm mà trẻ em sẽ ở cấp III (14 đến 17 tuổi) mà gây cho em những tác phong tốt bên cạnh những kiến thức thật chắc chắn về toán học.

GS Tạ Quang Bửu luôn trăn trở với sự nghiệp giáo dục Việt Nam

Phần thứ hai: Một số góp ý về phương pháp giảng dạy

Trên cơ sở phân tích như trên, xin góp ý đề ra.

1 – Vấn đề cơ bản theo tôi là: Thế nào là hiểu và học ở bậc phổ thông cấp III; và tốt nghiệp cấp II, học sinh ra đời hoặc vào đại học đã biết làm gì và biết gì về toán học ? Theo sự phân tích trên đây thì ở bậc phổ thông, toán học không đòi hỏi phải đi vào bản chất của sự vật mà đòi hỏi học sinh tiếp thu vững chắc một số định nghĩa và một số quy tắc. Về vai trò quan trọng của định nghĩa, tôi chỉ xin nhắc lại một lời dặn rất cơ bản của một thầy dạy toán nổi tiếng. Jacques Hadamard: “Phải luôn luôn thay cái bị định nghĩa bởi các định nghĩa”[15]. Ví dụ phần lớn các bài toán không giải được là vì trẻ em quen thay số chẵn (cái bị định nghĩa) bởi 2n (cái định nghĩa) hoặc hình tam giác cần (cái bị định nghĩa) bởi hình tam giác có hai cạnh bằng nhau (cái định nghĩa) v.v… Còn về các quy tắc thì tôi xin phép nhắc rằng, theo tôi, thì “hiểu” trong toán học phổ thông chủ yếu là biết cách tận dụng linh hoạt và vững chắc các quy tắc xây dựng cũng như các quy tắc suy lý mà học sinh đã học được. Không nên nhấn mạnh quá nhiều về lý lẽ, thực chất, hoặc mất thì giờ nêu lên những quan hệ bỏng bẩy giữa dấu và vật (ngữ nghĩa) mà cần làm cho học sinh thấy và nhớ các quan hệ giữa dấu và dấu (ngữ pháp). Còn về hình học thì thấy và nhớ những quan hệ giữa các phần tử của vật đang xây dựng hơn là những quan hệ giữa vật đã sẵn có với ngoại giới và với các vật khác cũng sẵn có. Tôi không phản đối việc đi sâu vào bản chất và nguyên lý, nhưng đó là việc của thầy, những thầy đã có khá nhiều kinh nghiệm về nghiên cứu và giảng dạy, chứ không phải những điều để nói với học sinh.

Do đó, mục tiêu phẫn đấu của chúng ta là làm cho học sinh tốt nghiệp lớp 10 phải biết làm một số việc như biến đổi đại số, giải một số phương trình đại số, tính được một số đạo hàm, vẽ một số đồ thị; còn về mặt hình học cũng phải biết làm một số động tác cần cho các chứng minh và cho việc dựng hình. Biết làm là chủ yếu còn biết nhiều về toán học chỉ là yêu cầu phụ và chúng ta phải làm sao cho học sinh thông qua biết làm mà biết nhiều và biết sâu.

Theo tôi, đó là vấn đề mấu chốt của phương pháp giảng dạy. Do đó, trong việc truyền thụ kiến thức, cần làm cho học sinh hiểu rõ các định nghĩa, nắm vững các quy tắc và tạo điều kiện cho học sinh vận dụng những quy tắc đó. Như vậy phải chăng là học thuộc lòng ? không phải, vì số quy tắc đó rất ít, và căn bản là lặp đi lặp lại nhiều lần, còn các định nghĩa thì theo quan điểm kiến thiết chúng ta xuất phát từ vài phần tử rất đơn sơ và xây dựng dần một cách tự nhiên theo phương pháp tổ hợp lại. Cho nên, học sinh phải thuộc lòng mà không phải dùng nhiều trí nhớ. Trong khi giảng, thầy cần tránh lặp lại những điều đã nói rồi trong bài đang giảng hoặc các bài giảng trước, và để dành việc lặp lại đó vào các bài tập. Thầy cần tránh nói sai đề sau phải cải chính lại, vì cải chính chỉ xóa bỏ cái sai của thầy chứ không xóa được cái sai mà trò đã tiếp thu. Cần hết sức tránh mơ hồ và nhập nhằng vì công dụng của ngữ pháp toán học là để tránh những ánh xạ không đơn trị của vũ trụ thực tế vào ngôn ngữ hàng ngày. Cho nên đưa những khuyết điểm và nhược điềm của ngôn ngữ hàng ngày trở lại vào ngôn ngữ toán học phải được xem là một bước tụt lùi cần được chấm dứt sớm.

2 – Cũng trên tinh thần đó mà ta giải quyết vấn đề cân đối giữa bài giảng và bài tập

Về ý nghĩa quan trọng của bài tập, các bạn đã nói rõ trong các bản báo cáo tôi đã nghe ở hội nghị. Tôi chỉ xin nhắc thêm rằng trong một đại hội các nhà toán học thế giới năm 1900, nhà toán học Hilbert, người được cử ra báo cáo về phương hướng phát triển toán học trong thế kỷ thứ hai mươi, đã làm tốt bản báo cáo quan trọng mà nội dung chủ yếu là danh sách hai mươi ba bài toán đề nghị các nhà toán học tương lai giải quyết. Kinh nghiệm sáu mươi năm vừa qua chứng tỏ rằng các cố gắng để giải hai mươi ba bài đó (phần lớn chưa giải được) đã đóng góp nhiều trong việc thúc đẩy toán học hiện đại phát triển mạnh.

Ở bậc phổ thông, bài tập nên theo sát từng đợt các bài giảng để học sinh nắm vững định nghĩa và quy tắc. Rõ ràng là không cần nhiều bài tập mà cần một số ít nhưng thật tiêu biểu, nhất định phải làm được. Trên cơ sở các bài tiêu biểu đó, khuyến khích học sinh tự làm những bài tập khác tương tự, càng nhiều càng hay, nhưng không nên nhiều quá vì còn phải học các môn khác. Cách sách giáo khoa Liên Xô đã giúp ta thấy tác dụng tốt của từng bài tập ngắn nhằm những mục tiêu nhất định. Nhưng như trên kia đã nói, chúng ta cũng cần từng thời gian ra những bài tập tương đối dài để học sinh tập cho dai sức, khắc phục dần tinh thần ngại khó, thấy toán học là một sự xây dựng phức tạp, cân đối và không kém mỹ thuật, hào hứng.

Trong khi chấm bài không nên chỉ chạy theo những lời giải thần tình để phát hiện thần đồng mà cần kiểm tra chặt chẽ về mặt ngữ pháp toán học đối với tất cả các học sinh. Làm như vậy không những quan tâm đến số đông học sinh, mà còn thể hiện một chân lý: thần đồng toán học là một quá trình xây dựng chứ không phải chỉ là một hiện tượng bẩm sinh.

3 – Xuống tận con số và tính toán gần đúng

Hiện nay ở bậc phổ thông cũng như đại học, nhưng gốc là ở phổ thông, một hiện tượng xấu là học sinh cũng như sinh viên làm bài tập thường chỉ vạch ra phương hướng giải bài toán, và hình như không thèm đi vào tính toán cụ thể để được những con số, và lấy con số so sánh với thực tế. Đây phải xem là một tật xấu cần chữa sớm và chữa tận gốc, bằng cách ra bài tập thích ứng và lúc chấm phải chú ý thích đáng đến ngữ pháp cũng như đến kết quả thành số. Không cần lấy ví dụ đâu xa (như tinh thần các lớp Math speci- ales của Pháp) các học sinh của ta nên biết rằng các đồng chí Nguyễn Hoàng Phương và Nguyễn Văn Hiệu là nhũng nhà toán học chuyên về các hướng lớn trong vật lý lý thuyết, nhưng các đồng chí đó tiến bộ nhanh là vì các đồng chí đó đã phải tự mình làm những tính toán cụ thể rất phức tạp, dài và tinh vi. Riêng đồng chí Hiệu không những phải vạch ra phương hướng mà còn phải tính toán cụ thể đến mức góp phần bớt mò mẫm cho công tác thí nghiệm của các nhà vật lý thực nghiệm ở máy gia tốc của Viện Đupna. Coi thường tính bằng số không những là một phương hướng tách rời thực tế mà còn là một sự tự bịt mắt để không thấy những sự huyền diệu mà con số còn để dành cho sự phát minh về toán học.

Cũng trên tinh thần này phải hết sức coi trọng việc tính gần đúng. Ở đây cần chú ý đến kết quả gần đúng đi từ những dữ kiện gần đúng chứ không nên chỉ đi từ những dữ kiện đúng. Đây là một vấn đề chuẩn bị cho học sinh dễ liên hệ với thực tiễn, và về mặt lý luận dần dần thấy tác dụng lớn lao của mò mẫm trong sáng tạo và phát minh.

Ví dụ các phát minh đặc sắc trong lý thuyết hàm số phức của Cauchy, Weierstrass, Maclaurin, Picard, đều là những sự mò mẫm thần tình xung quanh một trị mà ta chưa có cách đạt được.

Trong thực tiễn sản xuất cũng như trong nghiên cứu khoa học, ít khi ta tính một số từ những số đã biết, mà thường là tính một khoảng số, từ những khoảng số đã biết. Các em phải sớm làm quen với cách đặt vấn đề như vậy.

Liên quan đến vấn đề này là vấn đề nháp nhiều hay nháp ít. Theo tôi, học sinh ta nháp quá nhiều, nháp rất bản và điều tra kỹ vào bản nháp thì thấy rõ ràng đa số học sinh cầm bút là cứ viết liên tục, chứ không để thì giờ suy nghĩ trước khi viết. Chúng ta nên kiên quyết tập cho học sinh từ bé cân nhắc trước khi viết, biết quý sự viết ít mà đúng, làm sao chỉ nháp cũng một lần, và bản nháp đã gần như bản sạch. Sau này tính toán càng ngày càng phức tạp, càng dài, nếu như phải nhập như hiện nay thì suốt đời cũng không đủ thì giờ viết nháp. Viết nháp nhiều chứng tỏ chưa nắm vững quy tắc.

4 – Vấn đề dụng cụ trực quan

Hiện nay các thầy ít chú ý đến việc tự làm hoặc hướng dẫn cho học sinh làm các dụng cụ trực quan. Đó là một khuyết điểm cần khắc phục, nhưng phải thấy đúng tác dụng của dụng cụ trực quan. Có ba tác dụng chủ yếu: Một là giúp những học sinh mà năng lực trừu tượng hóa kém có chỗ dựa để hiểu các định nghĩa và quy tắc. Hai là các học sinh thấy các kiến trúc toán học là đẹp để gây thêm hào hứng về học toán. Ba là giúp học sinh liên hệ với thực tiễn, đi từ ngữ pháp trở về ngữ nghĩa, và đi từ ngữ nghĩa tiến lên ngữ pháp. Tuy nhiên, mục tiêu của chúng ta là nâng cao trình độ trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh, nên chúng ta cần tránh dùng dụng cụ trực quan một khi nó không cần dùng nữa.

5 – Xây dựng từng người

Ở phổ thông, thầy phải theo dõi và xây dựng cho từng học sinh để tránh tình hình bất thường của ta hiện nay là ở phổ thông thì thầy giảng như diễn thuyết, còn ở đại học thì phụ đạo lại khá phổ biến. Để làm việc này, thầy phải tổ chức từng nhóm như đã nói trong bản báo cáo của đồng chí Phi ở Hưng Yên. Một học sinh giỏi cần tham gia hai nhóm, một nhóm học sinh giỏi và một nhóm trong đó học sinh giỏi có nhiệm vụ giúp đỡ các em kém hơn.

6 – Vấn đề liên hệ toán học với thực tiễn

Chúng ta nhận thức rằng thực tiễn là gốc của toán học, tiêu chuẩn chân lý của toán học, đồng thời là mục tiêu của toán học. Nhưng vấn đề không đơn giản lắm. Lịch sử của toán học cho biết rằng quan hệ giữa toán học và sản xuất có 3 dạng điển hình:

a) Trường hợp của hình học Euclid, nó là kết tinh của hàng nghìn năm đạc điền và đo đạc để kiến trúc ở Ai-cập, Trung-quốc và Hy-lạp. Ở đây toán học đi sau sản xuất, và nắm vững những kết quả của toán học sẽ có ứng dụng ngay trong sản xuất.

b) Trường hợp của các phương trình vi phân riêng phần phát triển song song với kỹ thuật, khuôn theo kỹ thuật mà phát triển, đồng thời đẩy mạnh sự phát triển của kỹ thuật.

c) Trường hợp của toán tenxơ và hình học Lobasepski phát triển hàng trăm năm trước khi được ứng dụng vào cơ học và vào tương đối luận của Einstein.

Tóm lại, toán học đối với từng môn và từng thời kỳ có khi đi trước, có khi phát triển song song, có khi lại đi sau sản xuất. Nhưng đó là vấn đề nghiên cứu khoa học, còn vấn đề của chúng ta không phải là tìm phương hướng phát triển toán học, mà là vấn đề dạy học toán cơ sở ở bậc phổ thông, tức là dạy những điều đúc kết kinh nghiệm sản xuất hàng ngàn năm[16], cho nên nắm vững chương trình phổ thông là chắc chắn có tác dụng thực tiễn. Hơn nữa nhiệm vụ của chúng ta không phải chỉ cung cấp cho các ngành sản xuất những người thuộc lòng một số công thức mà là những người biết suy luận chính xác để biết phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề một cách chính xác, thích hợp với yêu cầu công nghiệp hóa xã hội chủ nghĩa.

Do đó, vấn đề chính là ý thức kết hợp với sản xuất của địa phương, tìm những ví dụ tốt, ra những bài tập cho sát, và từng thời kỳ có thể đưa học sinh tham gia những công tác cụ thể đòi hỏi những tính toán đo đạc v.v…ở các hợp tác xã, công trưởng và cả xí nghiệp, nếu thấy có thể giúp ích. Tuy nhiên, không nên hấp tấp gò ép các ví dụ và bài tập chỉ có ý nghĩa sản xuất mà không kiểm soát lại kỹ chúng có mang lại gì cho học sinh về mặt ứng dụng đầy đủ và toàn diện lý luận đã học.

7 – Do đó, vấn đề chính hiện nay, về mặt bảo đảm kiến thức cũng như liên hệ với thực tiễn, không phải là thay đổi chương trình và sách giáo khoa. Mặc dầu mấy năm gần đây trên thế giới đã thảo luận nhiều về việc hiện đại hóa chương trình toán ở phổ thông, nhưng theo tôi thì cần cân nhắc thật kỹ trước khi thêm bớt vào chương trình phổ thông, còn yêu cầu trước mắt đối với thầy giáo của ta là nghiên cứu kỹ và quán triệt chương trình mà Bộ Giáo dục đã đề ra, đồng thời hết sức phát huy tác dụng của sách giáo khoa.

Tuy nhiên, về phía thầy cần phải hiện đại hóa kiến thức của mình, đặc biệt là về lý thuyết tập hợp, về logic toán, và toán hữu hạn, cơ sở của hình học và một ít topo tập hợp cũng như tổ hợp. Nhưng không phải cái gì thầy biết cũng đưa ra nói với trò mà cái chính là một khi thầy thật thấm nhuần các môn cơ sở của toán học hiện đại thì thầy sẽ hiểu rõ hơn ý nghĩa và vị trí của toán học mà mình phụ trách giảng, để chủ động nhìn xa và cải tiến phương pháp của mình và bổ túc cho học sinh giỏi.

8 – Thầy cần đọc gì để dạy tốt hơn ?

Anh Lê Văn Thiêm sẽ nói rõ hơn với các bạn làm thế nào để nâng cao kiến thức. Về mặt cải tiến giảng dạy, tôi đề nghị các bạn chú ý các tài liệu sau đây:

Klein: Toán học sơ cấp theo quan điềm cao cấp.

Hilbert: Cơ sở của hình học.

Polya: Giải một bài toán cách thế nào ?

Toán học và suy luận “nghe được”.

Hilbert và Von Cossen: Hình học vui.

Hugo Steinhaus: 100 bài tập.

Rosa Peter: Trò chơi với cái vô hạn.

Henkin: Về quy nạp toán học

và các tạp chí toán học phổ thông, những tài liệu về lịch sử toán học và tiểu sử các nhà toán học. Riêng đối với bài của Henkin (20 trang) vì là một bài khá cao nhưng lại viết cho các thầy dạy phổ thông, nên tôi sẽ trình bày trong 3 buổi cho các thầy ở Hà Nội.

Kết luận

Thời đại ta là thời đại phát triển của toán học. Nước ta tiến lên xã hội chủ nghĩa không phải qua phát triển tư bản chủ nghĩa càng đòi hỏi mọi người đều biết làm toán, và nhiều người phải giỏi toán. Các bạn không nên lo rằng chúng ta đã thừa toán so với cơ sở vật chất còn non kém của ta, mà các bạn chỉ nên lo rằng số người biết toán và trình độ toán của ta còn thấp chưa đáp ứng được yêu cầu. Như các bạn nhận định rất đúng, vấn đề mấu chốt để nâng cao trình độ toán học ở nước ta là tinh thần trách nhiệm của chúng ta – những người dạy toán. Việc tất cả chúng ta họp ở đây để bàn với nhau làm cho trong việc dạy toán ở phổ thông cấp III có một chuyển biến cách mạng là rất phù hợp với tinh thần của nghị quyết Hội nghị Trung ương lần thứ 8 và đó là một nguồn cổ vũ rất lớn cho chúng ta, một bảo đảm vững chắc cho sự thành công của hội nghị và sự tiến bộ của toán học ở nước ta.

Ủy ban khoa học Nhà nước xem toán học và vật lý học là hai môn cơ sở của khoa học hiện đại đồng thời nhận định rằng các bước đầu có được xây dựng vững vàng ở bậc trung học thì sự phát triển của nền khoa học non trẻ ở nước ta mới được bảo đảm nhanh chóng và có chất lượng cao. Do đó Ủy ban rất coi trọng Hội nghị này, và hôm nay đồng chí Lê Văn Thiêm, trưởng Ban toán lý của Ủy ban và tôi xin nhiệt liệt chào mừng tất cả các bạn đồng nghiệp đã đến đây họp bàn về những vấn đề quan trọng để thực hiện những chỉ thị của Bộ Giáo dục nhằm cải tiến công tác giảng dạy toán lý ở cấp III phổ thông.

Qua các bản báo cáo đã được nghe, chúng tôi rất phấn khởi thấy một mặt sự hướng dẫn của Vụ phổ thông thuộc Bộ Giáo dục là chính xác, mặt khác thì các thầy giáo của chúng ta có nhiều kinh nghiệm quý báu và đã cố gắng đúc kết các kinh nghiệm đó một cách toàn diện và sâu sắc. Về mặt này, chúng tôi chỉ có việc là học tập kinh nghiệm và tinh thần trách nhiệm, cũng như nhiệt tình yêu nghề của các bạn. Sau đây, về phần tôi xin góp một số ý kiến cá nhân để các bạn có thêm tài liệu tham khảo.

Phần thứ nhất: Thử phân tích nội dung, phương pháp suy luận và vị trí của toán học ở phổ thông cấp ba

1– Học sinh tiếp thu khá đầy đủ một ngôn ngữ khó hình thức hóa

Ở cấp I và cấp II, toán chưa và không nên học nhiều, nhưng rất quan trọng. Các em bắt đầu lấy dấu thay vào vật, dấu 2 thay vào hai con bò, hai con trâu, hai ngón tay, hai que đũa v.v… dấu 3 thay vào ba cái nhà, ba quả cam, ba ngón tay, ba que đũa v.v… Các em lại tiếp thụ một số phép trên các dấu đó để từ hai dấu này tìm được một dấu thứ ba theo một quy tắc nhất định. Các dấu là

0, 1, 2, …, 9

và các phép là định nghĩa bởi các quy tắc, quy nạp từ một số thí nghiệm, như phép cộng là định bởi

2+3 = 5

3+4 =7

và phép nhân là định bởi

2.3 = 6

7.9 = 63

……

Trong vài trường hợp thật đơn giản các em lấy một số ngón tay là hai ngón tay, rồi thêm một số ngón tay là ba ngón tay, rồi nghiệm rằng tổng số là năm ngón tay, và như vậy các em thấy các phép mình học là đúng, thấy rằng chân lý của toán học là cái gì không giống thực tế nhưng lại phù hợp với thực tế. Thực ra các em chỉ thí nghiệm vài lần thôi, nhưng như thế cũng đủ để các em tin tưởng, và trong tất cả các trường hợp khác các em chỉ có việc học thuộc lòng bảng cửu chương, tức là một số phép trên một số dấu để được những dấu khác. Ở đây rất ít khi các em nghĩ đến các số (number) và sự thật là chỉ nghĩ đến các dấu – sổ (number sign)[1]. Chúng ta phải thừa nhận rằng, làm như vậy là dĩ nhiên vì thông thường rất ít người hình dung được quá sổ bảy, trừ những trường hợp các người tính nhẩm kỳ dị, như Inaudi, một người chắn cừu mà người ta nói rằng trong đàn cừu hàng ngàn con của anh ta, nếu thiếu một con thì anh ta cảm thấy ngay. Phải nói thêm rằng Inaudi, người có khả năng « thấy » con số một cách trực quan như vậy, sau khi đã được một nhà toán học mất nhiều công bồi dưỡng anh thì anh ta lại tỏ ra chỉ là một người tính nhanh chứ không phải là một người toán giỏi, và về sau anh ta chỉ đi biểu diễn ở trong các rạp xiếc. Hơn nữa, vấn đề số là gì ? là một vấn đề rất khó, và phải đến đầu thế kỷ thứ XX, Rus- sell và Frege mới đưa ra một câu trả lời tương đổi thỏa mãn, nhưng câu trả lời đó thì lại không những khó hiểu đối với trẻ con mà ngay những người lớn, kể cả các thầy dạy toán như chúng ta, cũng phải để nhiều công mới hiểu tương đối rõ.

Cho nên, toán học đối với trẻ em thường là một thứ ngôn ngữ mới, một mật mã với những dấu và những quy tắc quy định những quan hệ giữa dấu và dấu (quy tắc ngữ pháp – règles syntaxiques) và những quy tắc đề phiên dịch các dấu đó thành ra số (quy tắc ngữ nghĩa règles sémantiques).

Nhìn kỹ thì dấu ở đây có hai mặt: Một là, lúc làm phép ta chỉ áp dụng những quy tắc ngữ pháp, lúc đó dấu không có nghĩa gì cả, dấu: không có nghĩa là ba quả cam, mà cũng không có nghĩa là ba nữa! Làm phép rồi, ta được dấu 5 chẳng hạn, thì lúc đó ta mới áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà được năm quả cam: quy tắc ngữ nghĩa đã đưa ta trở về thực tiễn. Lúc ấy ta mới thấy chân lý, có nghĩa là đúng hay sai. Trước đó, trong khi làm phép thì chân lý chỉ có nghĩa là đúng quy tắc.

Hai là, ở cấp I vì các tính toán còn đơn giản, trẻ em luôn luôn có luật mật mã trong tay đề khi cần thì dở luật ra xem (bấm độn trên ngón tay chẳng hạn) và áp dụng quy tắc ngữ nghĩa mà dịch dấu số thành số. Về sau các tính toán phức tạp hơn và thời gian làm những việc không có nghĩa[2] sẽ kéo dài dần và học sinh làm toán nói chung là áp dụng ngữ pháp, và thầy chấm bài cũng là kiểm tra ngữ pháp. Trong quá trình đó, năng lực trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh được nâng cao dần, và các em càng ngày càng tin tưởng vào sức mạnh mới của mình.

Ở cấp I và cấp II, trẻ em học toán và làm toán cảm thấy mình sáng tạo về hai mặt: một là đứng về trực quan thì thấy rõ mình hành động tự do vì con số dễ vận dụng hơn các vật nhiều. Các em dễ dàng cộng 20.000 với 30.000 đề được 50.000, còn nếu phải xếp hàng hai vạn con bò, rồi thêm ba vạn con bò đề được năm vạn con bò thì rõ ràng là không thể làm được. Các em có cảm tưởng muốn làm gì, với con số nào cũng được. Nhưng mặt khác khi làm việc này các em nhận thấy ngay rằng việc sáng tạo tự do của mình phải đi đôi với một kỷ luật nghiêm khắc trong việc chấp hành các quy tắc đã được vạch ra, nếu không thì sẽ sai, tức là kết quả sẽ không phù hợp với thực tiễn. Sáng tạo trong kỷ luật là một thu hoạch hết sức quan trọng mà môn toán mang lại cho con em chúng ta, một thu hoạch mà các thầy giáo chúng ta, theo tôi, chưa đánh giá đúng mức.

Tuy nhiên, việc sáng tạo của trẻ em diễn ra trong một vũ trụ đặc biệt – vũ trụ các dấu, vũ trụ của cái gián đoạn, của cái tổ hợp (combinatoire)[3]. Cho nên, các thầy cấp I và cấp II nên hoan nghênh việc các em phải giỏi về các bộ môn khác như sử, địa, lý, văn; hoan nghênh việc đọc tiểu thuyết, đọc Phong thần, Tây du, Thủy hử, tức là ham thích sự sáng tạo trong vũ trụ của liên tục, của biến hóa, của không – tỏ – hợp. Làm như vậy chúng ta không những không hạn chế việc phát triển toàn diện của học sinh mà còn mở đường cho sự phát triển toán học sắp tới ở cấp III là toán học của hình học và sổ thực, biến hóa và liên tục.

Cuối cấp II và đầu cấp III, khả năng của học sinh hành động trong vũ trụ dấu, vũ trụ không có nghĩa, vũ trụ của ngữ pháp kéo dài lâu hơn. Từ lớp sáu, học sinh bắt đầu dùng những dấu mới tức là con chữ thay vào đầu sổ. Học sinh bắt đầu làm quen với các biến, tức là các dấu có nhiều trị. Các biến, giống như Tôn Hành Giả, khi là con khỉ, khi là Ngưu Ma Vương, khi là tiểu yêu[4], thần thông biến hóa, làm cho khả năng sáng tạo của học sinh tăng lên nhiều, hành động được tự do hơn, các quy tắc có nhiều sức mạnh hơn và việc vận dụng các quy tắc đó đã có tính chất gần như máy móc; học sinh giải được nhiều bài toán có ý nghĩa phong phú và sâu sắc hơn. Học sinh đã viết được hàng tràng công thức nổi tiếp nhau, không có ý nghĩa nào khác là đúng quy tắc, cho nên học sinh đã thấy hình thành trước mắt mình những trang mật mã của đại số học, những cái sẽ gọi là văn kiện toán học (texte mathématique), và sẽ phải chú ý đến vấn đề nội – văn – bản (contexte). Các em phải chú ý đến nội văn bản để phân biệt tại sao số chữ này lại cho một hằng, chữ kia một thông số và chữ nọ một biến. Chữ x cho một biến vì trị của nó thay đổi trong cả văn bản. Chữ a cho một hằng vị trị của nó không thay đổi trong văn bản, nhưng ngoài văn bản ta có thể tùy ý thay đồi trị của nó. Còn nếu trị của nó là hằng trong từng bộ phận lớn của văn bản thì ta có một thông số, và khi biện luận, tài của học sinh là xác định các bộ phận đó của văn bản[5].

Đến cuối cấp II, một mặt học sinh đã tương đối làm chủ mật mã toán học. Các bài làm có khi kéo dài ba, bổn trang công thức, phần viết bằng tiếng Việt càng ngày càng thu hẹp vào các từ ngữ “do đó”, “cho nên” tức là một số rất nhỏ các từ ngữ thuộc về siêu toán học. Đến cuối bài tập, sau khi kết thúc quá trình ngữ pháp đó bởi một công thức, học sinh mới điền các hằng số đã cho để được một đầu số mà em sẽ dịch ra ngôn ngữ và ý nghĩa hàng ngày. Khi đó em đã ra khỏi vũ trụ dấu và trở về thực tiễn. Mặt khác, các học sinh từ lớp chín đã tiếp thụ khái niệm hàm số, số thực cùng với những quy tắc mới để xây dựng các khái niệm phức tạp hơn và suy luận quanh co và dài hơn. Sức mạnh của các em đã tăng lên nhiều. Sức trừu tượng hóa và hình thức hóa đã đến độ khá cao, và các thầy cần ra những bài toán khá dài và có ý nghĩa thực tiễn đề bồi dưỡng sức suy luận đồng thời đưa các học sinh trở về với đời sống, với sản xuất.

Tóm lại, điều căn bản mà tôi muốn nói với các đồng chí là qua mười năm ở bậc phổ thông, các trẻ em đã đi từ những trò chơi mật mã đơn giản mà tiến dần đến làm chủ một ngôn ngữ toán học phong phú và chặt chẽ, chính xác và uyển chuyển, chứa gần như toàn bộ số học và phần cơ sở của giải tích học.

2 – Học sinh học suy luận theo phương hướng kiến thiết và phương hướng tiên đề

Song song với việc làm chủ ngôn ngữ mới này, học sinh làm quen với công cụ suy luận cơ bản, một số công cụ logic như modus ponens, và quy tắc thay thế, một số công cụ toán học như quy nạp toán học[6]. Nhưng điều tôi muốn nêu lên với các bạn hôm nay là ở bậc phổ thông, đặc biệt là ở cấp III, học sinh đã làm quen với hai phương hướng cơ bản để làm cho toán học thêm chặt chẽ: một là phương hướng tiên đề (axiomatique), hai là phương hướng kiến thiết (constructif)[7]. Phương pháp tiên đề đã phát triển nhiều và được phổ biến khá rộng nên tôi sẽ chỉ nhắc qua một số điểm, chủ yếu là đề đối lập với phương hướng kiến thiết mà tôi muốn trình bày kỹ hơn vì nó là phương hướng của bậc phổ thông, đồng thời là phương hướng tương lại mặc dầu hiện nay nó chưa phát triển tốt lắm. Như các bạn đều biết, chúng ta có ba trình độ tiên đề hóa :

Ở trình độ thứ nhất, ta có sẵn một thuyết toán học đã phát triển. Trong lớp tất cả các định lý của nó ta chọn một số nhỏ, không thừa không thiếu, độc lập với nhau, mà từ đó ta rút ra tất cả các định lý kia, không thừa (nhất quán) không thiếu (đầy đủ). Ở trình độ tiên đề hóa này, ta có một hệ tiên đề có nội dung.

Ở trình độ thứ hai, ta có hệ tiên đề hình thức mà tiêu biểu là hệ tiên đề hình học của Hilbert. Ở đây ta xuất phát từ một số công thức lấy làm tiên đề, rồi bằng những quy tắc hoàn toàn hình thức ta rút ra các công thức khác sao cho các công thức đó là tất cả các công thức hữu hiệu, và hệ tiên đề của ta là nhất quán.

Ở trình độ thứ ba, thuyết của ta trở thành một thuyết tinh toán (calcul). Ta xuất phát từ những dấu nguyên thủy, một số quy tắc xây dựng, một số quy tắc biến đổi sao cho việc suy luận để rút các định lý ra từ các tiên đề là một sự tính toán không được để một sơ hở nào cho trực quan và cho sự nhầm lẫn.

Nhưng đạt đến trình độ tiên đề hóa cao nhất này, Hilbert tìm cách để đánh giá nó, đặc biệt là để chứng minh tính nhất quán của hệ mà ta xây dựng. Nói cách khác, ta cần có một siêu toán học hoàn toàn tin cậy để nói về toán học đã xây dựng. Muốn vậy, siêu toán học này phải là một hệ hết sức thô sơ, xuất phát từ một số rất ít các dấu, ví dụ như 0 và / (gậy) và một số rất ít các quy tắc xây dựng, cùng với một số rất ít các quy tắc suy lý, và việc vận dụng các dấu và các quy tắc đó phải hết sức đơn sơ, minh bạch (Hilbert đòi hỏi phải là hữu hạn), sao cho không có chỗ hở nào để lọt bất cứ sự mơ hồ nào, đơn sơ và sáng sủa gần giống như toán học ở các năm đầu của bậc phổ thông vậy. Một siêu toán học như vậy, theo lời Hilbert, phải có tính chất kiến thiết.

Tóm lại, Hilbert cho rằng phương hướng kiến thiết là để kiểm tra và bảo đảm tính chặt chẽ cho phương hướng tiên đề. Nhưng đối với một số nhà toán học khác bắt đầu từ Kronec- ker, Poincaré, Borel, Lebesgue, Brouwer (1907), Weyl, Skolem, rồi Kolmogorov, Kleene, Good – stein, Markov v.v…thì phương hướng kiến thiết không phải chỉ là một công cụ kiểm tra đối với phương hướng tiên đề mà là phương hướng duy nhất đúng của toán học. Hai phương hướng ấy khác nhau ở chỗ nào ?

Trong toán học tiên đề (viết tắt cho toán học theo phương hướng tiên đề) không có vật đối tượng mà chỉ có một hệ mệnh đề mô tả một cảnh giới đối tượng. Đồng thời ta có một hệ phép trên các mệnh đề. Do đó sự tồn tại của một tập hợp (cảnh giới của đối tượng) không cần trải qua một quá trình xây dựng nào mà chỉ bằng sự phát biểu ra một mệnh đề. Đó là một đặc điểm rất khả nghi của các lý thuyết tiên đề (khuynh hướng của Platon).

Trái lại, trong toán học kiến thiết, ta xuất phát từ các vật, đối tượng có tính chất kiến thiết, thường cho ta bởi những định nghĩa quy nạp, ví dụ định nghĩa các số:

a) 1 là số

b) nếu a là số thì al là số

c) không có cái gì khác là số

Đồng thời ta tự cho những phép trên các vật đó. Một quá trình suy nghĩ là một quá trình thí nghiệm lý trí trên các vật xem là tồn tại cụ thể. Trong toán học kiến thiết, các phép nguyên thủy đều thực hiện được vì rất thô sơ. Ví dụ phép thêm một gậy (/) bên phải. Nhưng làm thế nào để phát biểu về các vật ?

Ta phải xuất phát từ số ít nhất những phát biểu đơn sơ nhất, ví dụ như đối với các dấu nguyên thủy, ta chỉ phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa hai dấu. Từ đó, bằng những nguyên tắc rất thô sơ, ta xây dựng những phát biểu về sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các từ, việc một từ này nằm trong một từ khác và cuối cùng, về khả năng tồn tại một đối tượng với thuộc tính này hay thuộc tính nọ v.v… Các phương tiện logic cho phép được dùng trong toán học kiến thiết là lược đồ để quy (schéma récursif) và phép chứng minh bằng quy nạp toán học. Ví dụ bằng đệ quy, ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau:

a +/ = a/                                              a./ =a

a + b / = (a + b) /                                a. b/= (a.b) + a

Những điều nói trên về toán học kiến thiết cho ta thấy rằng toán học dạy ở phổ thông có rất nhiều điểm thỏa mãn yêu cầu của toán kiến thiết. Về số học và đại số học ở cấp I và cấp II thì rất rõ. Về hình học Euclid, tuy có nhiều tranh cãi chưa kết luận, nhưng theo tôi thì hình học này không phải là một thuyết tiên đề mà là một thuyết mang nhiều tính chất kiến thiết. Hình học này không xuất phát từ những tiên đề hình học, mà những tiên đề logic học như: bộ phận nhỏ hơn toàn thể; hai cái bằng một cái thứ ba là bằng nhau v.v… còn các cơ sở của hình học thì chúng đều đặt trong các định đề.

Về phương pháp thì hình học Euclid là đặc trưng bởi:

1) Các tiên đề logic số học, cũng như các định đề hình học đều khẳng định khả năng thực hiện phép này hay phép nọ.

2) Các định lý chỉ nói về quan hệ giữa các phần tử trong hình đang xây dựng[8].

3) Các đối tượng toán học không xem là tồn tại trước khi chúng được xây dựng. Tuy nhiên, mặc dầu xuất phát điểm đơn sơ và chặt chẽ như vậy nhưng việc tiếp tục phát triển toán học kiến thiết gặp những khó khăn hết sức to lớn. Quả vậy, toán học kiến thiết mà ta vừa xây dựng là một thuyết còn có chứa nội dung. Câu hỏi đặt ra là: có thể hình thức hóa nó được không? và nếu được thì nên làm như thế nào ?

Theo phương hướng tiên đề thì ta hình thức hóa trong lòng của toán tân từ kinh điển, còn toán học kiến thiết có thể hình thức hóa hoặc trực tiếp trong hệ hình thức của các hàm đệ quy[9] tức là các toán thuật, hoặc trong toán tiên đề kiến thiết.

Ta hãy thử hình thức hóa trong toán tiên đề kiến thiết.

Vấn đề là có thể tiên đề hóa toán học kiến thiết được không? tức là trình bày nó trong một hệ tiên đề ở trình độ thứ ba[10]. Hệ tiên đề đó không thể là toán tân từ kinh điển vì trong việc cắt nghĩa kiến thiết thì trong các công thức chứng minh được, ta có những công thức lại tỏ ra sai về mặt kiến thiết, ví dụ Vx(A)\ \A(2))[11] và như vậy là toàn tân từ kinh điển là không nhất quán đối với thuộc tính của chân lý kiến thiết. Hệ tiên đề đó cũng không phải là toán tân từ kiến thiết tiên đề hóa, vì hệ đó là nhất quán đối với chân lý kiến thiết nhưng nó sẽ không đầy đủ đối với chân lý kiến thiết. Tồn tại những công thức đúng về mặt kiến thiết nhưng lại không hữu hiệu (ví dụ 7 Vx (A (2)V TA (2)), tức là không chứng minh được trong toán tân từ kiến thiết. Hiện nay vấn đề tiên đề hóa toán học kiến thiết như vậy là chưa giải được.

Hãy tìm con đường khác.

Chúng ta hãy thử tìm một thứ toán mà là hình thức hóa trực tiếp của kỹ thuật đệ quy, ví dụ: hệ hình thức của các hàm đệ quy, các toán thuật của Markov, các hàm tinh được của Turing v.v…Vấn đề đặt như vậy rất thú vị nhưng còn gặp nhiều khó khăn[12]. Để ước lượng các khó khăn này một cách không đi vào kỹ thuật như trên, ta có thể nói rất nôm na rằng các nhà toán học kiến thiết không thừa nhận sự tồn tại của cái gì mà không có toán thuật đề xây dựng. Họ không thừa nhận vô điều kiện những điều hiển nhiên đối với toán học kinh điển và đã làm cho toán học kinh điển rất phong phú, như định lý cơ bản của đại số học, định lý Canchy, định lý Rolle, định lý Lagrange. Họ không thừa nhận cả định lý nói rằng một dãy tăng mà có chặn trên là một hội tụ v.v… Họ rất thận trọng đối với phủ định, vì ~7 A thật đáng nghi ngờ về mặt kiến thiết. Do đó, họ không thừa nhận vô điều kiện 77ADA và đặc biệt là họ phủ nhận tertium non datur AVA. Cũng theo phương hướng đó, họ không thừa nhận vô hạn thực tại vì rõ ràng là vô hạn đó không xây dựng được, và họ chỉ thừa nhận vô hạn những sự bứt rứt lương tâm gây ra bởi các tiềm năng[13].

Những yêu cầu của họ là rất hợp lý và rất tự nhiên đối với toán học ở bậc phổ thông, nhưng nếu nghe họ thì toàn bộ toán học kinh điển, một lâu đài đẹp để xây dựng từ mấy ngàn năm nay, sẽ sụp đổ gần hết, chỉ còn đứng trơ số học và đại số, một phần lớn của topo và của lý thuyết hàm số phức, còn toàn bộ giải tích cổ điển thì phải xóa đi, và hình học không còn ý nghĩa độc lập gì đáng kể nữa ! Nhưng mặt khác, toán học kiến thiết lại là một vấn đề hết sức quan trọng của máy tính điện tử, của tự động hóa và của nhiều kỹ thuật hiện đại, vì các phương tiện tối tân đó đều đòi hỏi phải có toán thuật, chúng đều phủ nhận vô hạn thực tại v.v… Cho nên các nhà toán học kiến thiết đang gian khổ xây dựng lại lâu đài toán học mà họ đã đập phá một cách dữ dội[14].

Vấn đề chủ yếu ở đây là xây dựng lại giải tích học, bắt đầu từ số thực. Việc này Turing đã bắt đầu từ năm 1937, nhưng đến Markov (1955) mới giải được tốt. Cũng trong công trình đó, Markov đưa vào khái niệm hàm kiến thiết biến số thực. Gần đây áp dụng phương pháp tương tự với các phương pháp làm đầy đủ các không gian mêtric, phương pháp rất có hiệu lực trong topo và giải tích hàm, nhà toán học Liên Xô, Sanin đã đưa vào toán học kiến thiết những khái niệm giống như các tập đo được, hàm đo được, hàm tổng được, hàm tổng được bậc p (p số nguyên dương), hàm suy rộng vv… (Xem bài của Sanin: Sổ thực kiến thiết và những không gian phiếm hàm kiến thiết tr. 15 – 294, công trình của Viện toán học Steklov LXVII, 1962).

Sở dĩ nói hơi dài với các bạn về toán học kiến thiết là vì quan điểm kiến thiết là quan điểm của toán học ở bậc phổ thông đồng thời là một quan điểm của toán học tương lai. Nhiệm vụ của các bạn là tập cho học sinh suy luận, nên các bạn cần biết khá rõ thế nào là suy luận. Hơn nữa, hiện nay giữa toán học phổ thông và đại học có một sự gián đoạn làm cho học sinh tốt nghiệp phổ thông ý kiến về một số vấn đề mà các đồng chí đã ra sản xuất mà tự học thêm hoặc được tuyển vào đại học, họ vừa thích thú với sức mạnh mới của mình, vừa bỡ ngỡ khi họ từ các quan điểm hữu hạn và kiến thiết của số học và đại số học bước vào số thực và giải tích của năm đầu ở bậc đại học. Về sau, từ tốt nghiệp đại học đến khi ra nghiên cứu toán học họ lại bỡ ngỡ một lần nữa vì họ phải bước từ tình hình êm đẹp của toán học kinh điển và của phương hướng tiên đề hóa sang sự bức rứt lương tâm gây ra bởi các định lý Godel và các sự công kích của các nhà toán học kiến thiết. Chắc rằng sự phát triển tốt của toán học kiến thiết sau này sẽ thực hiện mộng lâu đời của các nhà toán học là thống nhất cái tính toán được và cái chứng minh được, và nhờ đó sẽ làm cho việc dạy toán và học toán từ phổ thông qua đại học đến đời hoạt động của một nhà toán học tương lai có thể liên tục và biến diễn tự nhiên hơn, trừ khi chúng ta lại còn phải gặp những sự bất ngờ khác mà ta chưa thể nói rằng đó là may hay rủi cho việc sáng tạo toán học.

3 – Học sinh cấp III ở tuổi quyết định về mặt đào tạo các nhà toán học tương lai

Việc giảng dạy toán ở phổ thông cấp III có một ý nghĩa quyết định đối với việc đào tạo ra những nhà toán học tương lai. Vì sao ? vì học sinh vào cấp III với lớp tuổi 14 – 15 là tuổi trẻ em có khả năng tiếp thụ bất ngờ về mặt toán học. Đồng thời cũng là tuổi mà năng khiếu toán học bộc lộ ra rõ rệt. Trước tuổi này, giỏi toán không có ý nghĩa gì lắm. Từ đây sẽ phân ra dần dần những em nào có khiếu, những em nào không. Hơn nữa, lịch sử của toán học cho biết các nhà toán học lớn đều tỏ ra hết sức xuất sắc từ 18 – 19 tuổi. Người ta thường đơn cử ví dụ của de Broglie đỗ cử nhân về sử học rồi mới bắt đầu học toán, nhưng các ví dụ đó là hãn hữu, còn nói chung trước hai mươi tuổi họ đã tiếp thụ hầu hết những vấn đề cơ sở và sau đó chỉ còn phát triển thêm lên. Cho nên, thầy giáo cấp III có một trách nhiệm rất lớn và các bạn cần tranh thủ thời gian ba năm mà trẻ em sẽ ở cấp III (14 đến 17 tuổi) mà gây cho em những tác phong tốt bên cạnh những kiến thức thật chắc chắn về toán học.

GS Tạ Quang Bửu luôn trăn trở với những“sản phẩm con người”

Phần thứ hai: Một số góp ý về phương pháp giảng dạy

Trên cơ sở phân tích như trên, xin góp ý đề ra.

1 – Vấn đề cơ bản theo tôi là: Thế nào là hiểu và học ở bậc phổ thông cấp III; và tốt nghiệp cấp II, học sinh ra đời hoặc vào đại học đã biết làm gì và biết gì về toán học ? Theo sự phân tích trên đây thì ở bậc phổ thông, toán học không đòi hỏi phải đi vào bản chất của sự vật mà đòi hỏi học sinh tiếp thu vững chắc một số định nghĩa và một số quy tắc. Về vai trò quan trọng của định nghĩa, tôi chỉ xin nhắc lại một lời dặn rất cơ bản của một thầy dạy toán nổi tiếng. Jacques Hadamard: “Phải luôn luôn thay cái bị định nghĩa bởi các định nghĩa”[15]. Ví dụ phần lớn các bài toán không giải được là vì trẻ em quen thay số chẵn (cái bị định nghĩa) bởi 2n (cái định nghĩa) hoặc hình tam giác cần (cái bị định nghĩa) bởi hình tam giác có hai cạnh bằng nhau (cái định nghĩa) v.v… Còn về các quy tắc thì tôi xin phép nhắc rằng, theo tôi, thì “hiểu” trong toán học phổ thông chủ yếu là biết cách tận dụng linh hoạt và vững chắc các quy tắc xây dựng cũng như các quy tắc suy lý mà học sinh đã học được. Không nên nhấn mạnh quá nhiều về lý lẽ, thực chất, hoặc mất thì giờ nêu lên những quan hệ bỏng bẩy giữa dấu và vật (ngữ nghĩa) mà cần làm cho học sinh thấy và nhớ các quan hệ giữa dấu và dấu (ngữ pháp). Còn về hình học thì thấy và nhớ những quan hệ giữa các phần tử của vật đang xây dựng hơn là những quan hệ giữa vật đã sẵn có với ngoại giới và với các vật khác cũng sẵn có. Tôi không phản đối việc đi sâu vào bản chất và nguyên lý, nhưng đó là việc của thầy, những thầy đã có khá nhiều kinh nghiệm về nghiên cứu và giảng dạy, chứ không phải những điều để nói với học sinh.

Do đó, mục tiêu phẫn đấu của chúng ta là làm cho học sinh tốt nghiệp lớp 10 phải biết làm một số việc như biến đổi đại số, giải một số phương trình đại số, tính được một số đạo hàm, vẽ một số đồ thị; còn về mặt hình học cũng phải biết làm một số động tác cần cho các chứng minh và cho việc dựng hình. Biết làm là chủ yếu còn biết nhiều về toán học chỉ là yêu cầu phụ và chúng ta phải làm sao cho học sinh thông qua biết làm mà biết nhiều và biết sâu.

Theo tôi, đó là vấn đề mấu chốt của phương pháp giảng dạy. Do đó, trong việc truyền thụ kiến thức, cần làm cho học sinh hiểu rõ các định nghĩa, nắm vững các quy tắc và tạo điều kiện cho học sinh vận dụng những quy tắc đó. Như vậy phải chăng là học thuộc lòng ? không phải, vì số quy tắc đó rất ít, và căn bản là lặp đi lặp lại nhiều lần, còn các định nghĩa thì theo quan điểm kiến thiết chúng ta xuất phát từ vài phần tử rất đơn sơ và xây dựng dần một cách tự nhiên theo phương pháp tổ hợp lại. Cho nên, học sinh phải thuộc lòng mà không phải dùng nhiều trí nhớ. Trong khi giảng, thầy cần tránh lặp lại những điều đã nói rồi trong bài đang giảng hoặc các bài giảng trước, và để dành việc lặp lại đó vào các bài tập. Thầy cần tránh nói sai đề sau phải cải chính lại, vì cải chính chỉ xóa bỏ cái sai của thầy chứ không xóa được cái sai mà trò đã tiếp thu. Cần hết sức tránh mơ hồ và nhập nhằng vì công dụng của ngữ pháp toán học là để tránh những ánh xạ không đơn trị của vũ trụ thực tế vào ngôn ngữ hàng ngày. Cho nên đưa những khuyết điểm và nhược điềm của ngôn ngữ hàng ngày trở lại vào ngôn ngữ toán học phải được xem là một bước tụt lùi cần được chấm dứt sớm.

2 – Cũng trên tinh thần đó mà ta giải quyết vấn đề cân đối giữa bài giảng và bài tập

Về ý nghĩa quan trọng của bài tập, các bạn đã nói rõ trong các bản báo cáo tôi đã nghe ở hội nghị. Tôi chỉ xin nhắc thêm rằng trong một đại hội các nhà toán học thế giới năm 1900, nhà toán học Hilbert, người được cử ra báo cáo về phương hướng phát triển toán học trong thế kỷ thứ hai mươi, đã làm tốt bản báo cáo quan trọng mà nội dung chủ yếu là danh sách hai mươi ba bài toán đề nghị các nhà toán học tương lai giải quyết. Kinh nghiệm sáu mươi năm vừa qua chứng tỏ rằng các cố gắng để giải hai mươi ba bài đó (phần lớn chưa giải được) đã đóng góp nhiều trong việc thúc đẩy toán học hiện đại phát triển mạnh.

Ở bậc phổ thông, bài tập nên theo sát từng đợt các bài giảng để học sinh nắm vững định nghĩa và quy tắc. Rõ ràng là không cần nhiều bài tập mà cần một số ít nhưng thật tiêu biểu, nhất định phải làm được. Trên cơ sở các bài tiêu biểu đó, khuyến khích học sinh tự làm những bài tập khác tương tự, càng nhiều càng hay, nhưng không nên nhiều quá vì còn phải học các môn khác. Cách sách giáo khoa Liên Xô đã giúp ta thấy tác dụng tốt của từng bài tập ngắn nhằm những mục tiêu nhất định. Nhưng như trên kia đã nói, chúng ta cũng cần từng thời gian ra những bài tập tương đối dài để học sinh tập cho dai sức, khắc phục dần tinh thần ngại khó, thấy toán học là một sự xây dựng phức tạp, cân đối và không kém mỹ thuật, hào hứng.

Trong khi chấm bài không nên chỉ chạy theo những lời giải thần tình để phát hiện thần đồng mà cần kiểm tra chặt chẽ về mặt ngữ pháp toán học đối với tất cả các học sinh. Làm như vậy không những quan tâm đến số đông học sinh, mà còn thể hiện một chân lý: thần đồng toán học là một quá trình xây dựng chứ không phải chỉ là một hiện tượng bẩm sinh.

3 – Xuống tận con số và tính toán gần đúng

Hiện nay ở bậc phổ thông cũng như đại học, nhưng gốc là ở phổ thông, một hiện tượng xấu là học sinh cũng như sinh viên làm bài tập thường chỉ vạch ra phương hướng giải bài toán, và hình như không thèm đi vào tính toán cụ thể để được những con số, và lấy con số so sánh với thực tế. Đây phải xem là một tật xấu cần chữa sớm và chữa tận gốc, bằng cách ra bài tập thích ứng và lúc chấm phải chú ý thích đáng đến ngữ pháp cũng như đến kết quả thành số. Không cần lấy ví dụ đâu xa (như tinh thần các lớp Math speci- ales của Pháp) các học sinh của ta nên biết rằng các đồng chí Nguyễn Hoàng Phương và Nguyễn Văn Hiệu là nhũng nhà toán học chuyên về các hướng lớn trong vật lý lý thuyết, nhưng các đồng chí đó tiến bộ nhanh là vì các đồng chí đó đã phải tự mình làm những tính toán cụ thể rất phức tạp, dài và tinh vi. Riêng đồng chí Hiệu không những phải vạch ra phương hướng mà còn phải tính toán cụ thể đến mức góp phần bớt mò mẫm cho công tác thí nghiệm của các nhà vật lý thực nghiệm ở máy gia tốc của Viện Đupna. Coi thường tính bằng số không những là một phương hướng tách rời thực tế mà còn là một sự tự bịt mắt để không thấy những sự huyền diệu mà con số còn để dành cho sự phát minh về toán học.

Cũng trên tinh thần này phải hết sức coi trọng việc tính gần đúng. Ở đây cần chú ý đến kết quả gần đúng đi từ những dữ kiện gần đúng chứ không nên chỉ đi từ những dữ kiện đúng. Đây là một vấn đề chuẩn bị cho học sinh dễ liên hệ với thực tiễn, và về mặt lý luận dần dần thấy tác dụng lớn lao của mò mẫm trong sáng tạo và phát minh.

Ví dụ các phát minh đặc sắc trong lý thuyết hàm số phức của Cauchy, Weierstrass, Maclaurin, Picard, đều là những sự mò mẫm thần tình xung quanh một trị mà ta chưa có cách đạt được.

Trong thực tiễn sản xuất cũng như trong nghiên cứu khoa học, ít khi ta tính một số từ những số đã biết, mà thường là tính một khoảng số, từ những khoảng số đã biết. Các em phải sớm làm quen với cách đặt vấn đề như vậy.

Liên quan đến vấn đề này là vấn đề nháp nhiều hay nháp ít. Theo tôi, học sinh ta nháp quá nhiều, nháp rất bản và điều tra kỹ vào bản nháp thì thấy rõ ràng đa số học sinh cầm bút là cứ viết liên tục, chứ không để thì giờ suy nghĩ trước khi viết. Chúng ta nên kiên quyết tập cho học sinh từ bé cân nhắc trước khi viết, biết quý sự viết ít mà đúng, làm sao chỉ nháp cũng một lần, và bản nháp đã gần như bản sạch. Sau này tính toán càng ngày càng phức tạp, càng dài, nếu như phải nhập như hiện nay thì suốt đời cũng không đủ thì giờ viết nháp. Viết nháp nhiều chứng tỏ chưa nắm vững quy tắc.

4 – Vấn đề dụng cụ trực quan

Hiện nay các thầy ít chú ý đến việc tự làm hoặc hướng dẫn cho học sinh làm các dụng cụ trực quan. Đó là một khuyết điểm cần khắc phục, nhưng phải thấy đúng tác dụng của dụng cụ trực quan. Có ba tác dụng chủ yếu: Một là giúp những học sinh mà năng lực trừu tượng hóa kém có chỗ dựa để hiểu các định nghĩa và quy tắc. Hai là các học sinh thấy các kiến trúc toán học là đẹp để gây thêm hào hứng về học toán. Ba là giúp học sinh liên hệ với thực tiễn, đi từ ngữ pháp trở về ngữ nghĩa, và đi từ ngữ nghĩa tiến lên ngữ pháp. Tuy nhiên, mục tiêu của chúng ta là nâng cao trình độ trừu tượng hóa và hình thức hóa của học sinh, nên chúng ta cần tránh dùng dụng cụ trực quan một khi nó không cần dùng nữa.

5 – Xây dựng từng người

Ở phổ thông, thầy phải theo dõi và xây dựng cho từng học sinh để tránh tình hình bất thường của ta hiện nay là ở phổ thông thì thầy giảng như diễn thuyết, còn ở đại học thì phụ đạo lại khá phổ biến. Để làm việc này, thầy phải tổ chức từng nhóm như đã nói trong bản báo cáo của đồng chí Phi ở Hưng Yên. Một học sinh giỏi cần tham gia hai nhóm, một nhóm học sinh giỏi và một nhóm trong đó học sinh giỏi có nhiệm vụ giúp đỡ các em kém hơn.

6 – Vấn đề liên hệ toán học với thực tiễn

Chúng ta nhận thức rằng thực tiễn là gốc của toán học, tiêu chuẩn chân lý của toán học, đồng thời là mục tiêu của toán học. Nhưng vấn đề không đơn giản lắm. Lịch sử của toán học cho biết rằng quan hệ giữa toán học và sản xuất có 3 dạng điển hình:

a) Trường hợp của hình học Euclid, nó là kết tinh của hàng nghìn năm đạc điền và đo đạc để kiến trúc ở Ai-cập, Trung-quốc và Hy-lạp. Ở đây toán học đi sau sản xuất, và nắm vững những kết quả của toán học sẽ có ứng dụng ngay trong sản xuất.

b) Trường hợp của các phương trình vi phân riêng phần phát triển song song với kỹ thuật, khuôn theo kỹ thuật mà phát triển, đồng thời đẩy mạnh sự phát triển của kỹ thuật.

c) Trường hợp của toán tenxơ và hình học Lobasepski phát triển hàng trăm năm trước khi được ứng dụng vào cơ học và vào tương đối luận của Einstein.

Tóm lại, toán học đối với từng môn và từng thời kỳ có khi đi trước, có khi phát triển song song, có khi lại đi sau sản xuất. Nhưng đó là vấn đề nghiên cứu khoa học, còn vấn đề của chúng ta không phải là tìm phương hướng phát triển toán học, mà là vấn đề dạy học toán cơ sở ở bậc phổ thông, tức là dạy những điều đúc kết kinh nghiệm sản xuất hàng ngàn năm[16], cho nên nắm vững chương trình phổ thông là chắc chắn có tác dụng thực tiễn. Hơn nữa nhiệm vụ của chúng ta không phải chỉ cung cấp cho các ngành sản xuất những người thuộc lòng một số công thức mà là những người biết suy luận chính xác để biết phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề một cách chính xác, thích hợp với yêu cầu công nghiệp hóa xã hội chủ nghĩa.

Do đó, vấn đề chính là ý thức kết hợp với sản xuất của địa phương, tìm những ví dụ tốt, ra những bài tập cho sát, và từng thời kỳ có thể đưa học sinh tham gia những công tác cụ thể đòi hỏi những tính toán đo đạc v.v…ở các hợp tác xã, công trưởng và cả xí nghiệp, nếu thấy có thể giúp ích. Tuy nhiên, không nên hấp tấp gò ép các ví dụ và bài tập chỉ có ý nghĩa sản xuất mà không kiểm soát lại kỹ chúng có mang lại gì cho học sinh về mặt ứng dụng đầy đủ và toàn diện lý luận đã học.

7 – Do đó, vấn đề chính hiện nay, về mặt bảo đảm kiến thức cũng như liên hệ với thực tiễn, không phải là thay đổi chương trình và sách giáo khoa. Mặc dầu mấy năm gần đây trên thế giới đã thảo luận nhiều về việc hiện đại hóa chương trình toán ở phổ thông, nhưng theo tôi thì cần cân nhắc thật kỹ trước khi thêm bớt vào chương trình phổ thông, còn yêu cầu trước mắt đối với thầy giáo của ta là nghiên cứu kỹ và quán triệt chương trình mà Bộ Giáo dục đã đề ra, đồng thời hết sức phát huy tác dụng của sách giáo khoa.

Tuy nhiên, về phía thầy cần phải hiện đại hóa kiến thức của mình, đặc biệt là về lý thuyết tập hợp, về logic toán, và toán hữu hạn, cơ sở của hình học và một ít topo tập hợp cũng như tổ hợp. Nhưng không phải cái gì thầy biết cũng đưa ra nói với trò mà cái chính là một khi thầy thật thấm nhuần các môn cơ sở của toán học hiện đại thì thầy sẽ hiểu rõ hơn ý nghĩa và vị trí của toán học mà mình phụ trách giảng, để chủ động nhìn xa và cải tiến phương pháp của mình và bổ túc cho học sinh giỏi.

8 – Thầy cần đọc gì để dạy tốt hơn ?

Anh Lê Văn Thiêm sẽ nói rõ hơn với các bạn làm thế nào để nâng cao kiến thức. Về mặt cải tiến giảng dạy, tôi đề nghị các bạn chú ý các tài liệu sau đây:

Klein: Toán học sơ cấp theo quan điềm cao cấp.

Hilbert: Cơ sở của hình học.

Polya: Giải một bài toán cách thế nào ?

Toán học và suy luận “nghe được”.

Hilbert và Von Cossen: Hình học vui.

Hugo Steinhaus: 100 bài tập.

Rosa Peter: Trò chơi với cái vô hạn.

Henkin: Về quy nạp toán học

và các tạp chí toán học phổ thông, những tài liệu về lịch sử toán học và tiểu sử các nhà toán học. Riêng đối với bài của Henkin (20 trang) vì là một bài khá cao nhưng lại viết cho các thầy dạy phổ thông, nên tôi sẽ trình bày trong 3 buổi cho các thầy ở Hà Nội.

Kết luận

Thời đại ta là thời đại phát triển của toán học. Nước ta tiến lên xã hội chủ nghĩa không phải qua phát triển tư bản chủ nghĩa càng đòi hỏi mọi người đều biết làm toán, và nhiều người phải giỏi toán. Các bạn không nên lo rằng chúng ta đã thừa toán so với cơ sở vật chất còn non kém của ta, mà các bạn chỉ nên lo rằng số người biết toán và trình độ toán của ta còn thấp chưa đáp ứng được yêu cầu. Như các bạn nhận định rất đúng, vấn đề mấu chốt để nâng cao trình độ toán học ở nước ta là tinh thần trách nhiệm của chúng ta – những người dạy toán. Việc tất cả chúng ta họp ở đây để bàn với nhau làm cho trong việc dạy toán ở phổ thông cấp III có một chuyển biến cách mạng là rất phù hợp với tinh thần của nghị quyết Hội nghị Trung ương lần thứ 8 và đó là một nguồn cổ vũ rất lớn cho chúng ta, một bảo đảm vững chắc cho sự thành công của hội nghị và sự tiến bộ của toán học ở nước ta.